Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

3.5. Halqa. Ta’rif va umumiy xossalar

3.18-ta’rif. Biror G-to‘plamda ikkita “+” - qo‘shish va “*” - ko‘paytirish binar amallar (munosabatlar) aniqlangan bo‘lib, quyidagi:

1. 
   G-to‘plam additiv Abel gruppasini tashkil etadi;
   
2. 
   ko‘paytirish amali assosiativ, ya’ni _a, b, c _ G bo‘lgan elementlar uchun ushbu
   

a(bc) = (ab)c munosabat o‘rinli;

3. 
   distributivlik qonuni o‘rinli, ya’ni _a, b, c _ G bo‘lgan elementlar uchun ushbu a (b+c) = ab+ac va (a+b) c = ac+bc munosabatlar o‘rinli shartlari bajarilgan bo‘lsa, bu <G, +, *> - algebraik tuzilma halqa tashkil etadi deyiladi.
   

Bitta (tegishli xossalarga ega bo‘lgan) amal aniqlangan gruppa tashkil
etuvchi to‘plamdan farqli ravishda halqa tashkil etuvchi to‘plamda uning ta’rifida keltirilgan xossalarga ega bo‘lgan ikkita amal aniqlangan.
3.19-ta’rif. Halqa birlik elementli deyiladi, agarda multiplikativ birlik
elementga ega bo‘lsa, ya’ni shunday element 1_G majud bo‘lsaki, uning uchun ushbu a1=1a=a munosabat _a_ G elementda bajariladi.
3.20-ta’rif. Halqa kommutativ deyiladi, agarda ko‘paytirish amali kommutativlik xossasiga ega bo‘lsa.
3.21-ta’rif. Halqa butun yoki butun sohali deyiladi, agarda u e _ 0-birlik elementli kommutativ halqa tashkil etib, a, b_G elementlar uchun
ab=0 munosabatdan a=0 yoki b=0 kelib chiqsa.
3.22-ta’rif. G – ixtiyoriy halqa bo‘lsin. Shunday natural son p_{1,2,3,…} mavjud bo‘lsaki, har bir element g_G uchun pg = 0 bajarilsa, u holda eng kichik shunday p-son G-halqaning xarakteristikasi deyiladi. Agarda shunday natural son mavjud bo‘lmasa, u holda halqa 0 (nol) xarakteristikaga ega deyiladi. Halqaning tartibi shu halqaning additiv gruppasi tartibi bilan aniqlanib, halqaning elementlari soniga teng.