Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

3.3.1. Parametrli multiplikativ gruppa

Parametrli gruppa quyidagicha ta’riflanadi [23].
3.16-ta’rif. F_n – chekli, ya’ni, n ta elementdan iborat butun sonlar to‘plami, ® – F_n ustida a®b  a + b + a*R*b (mod n) ko‘rinishidaaniqlangan algebraik amal bo‘lsa, (F_n; Ώ) – juftlik parametrli multiplikativ gruppa deb ataladi; bu yerda a, b, RF_n, parametr R>0,+, * – butun sonlar ustida qo‘shish, ko‘paytirish amallarining va ® – parametrli ko‘paytirish amalining belgilari.
Parametrli ko‘paytirish amali o‘z mohiyati bo‘yicha ternar amaldir.
Noldan farqli to‘plam elementi a uchun teskari element a^\-1 va qarama-
qarshi element n-a mavjud. a^\-1 parametrli teskari element deb ataladi va a®a^\-1  0 (mod n) shartini qanoatlantiradi. Bu yerda 0 – parametrli birlik elementi bo‘lib, a®0  a aksiomani qanoatlantiradi.
Parametrli teskari element quyidagicha hisoblanadi:
a ^\-1  - a(1+ aR)^-1 (mod n).
Bu yerda ^-1 - n modul bo‘yicha teskarilash amalining belgisidir.
Izoh – Bu yerda va keyingi harfli ifodalarda (zarurat bo‘lmagan hollarda) ko‘paytirish
belgisi “*” tushirib qoldirilgan.
Parametrli multiplikativ kommutativ gruppa quyidagi xossalarga ega.
1-xossa: agar parametrli multiplikativ kommutativ gruppaning parametri juft son va moduli n=2k (k - ixtiyoriy natural son) ga teng bo‘lsa, uning tartibi (gruppa elementlari soni) 2k ga teng.
2-xossa: agar moduli n tub son bo‘lgan parametrli multiplikativ
kommutativ gruppaning parametri ixtiyoriy natural son bo‘lsa, uning tartibi φ(n) ga teng, bu yerda φ(n) – Eyler pi-funksiyasi qiymati.
Misol:

1. 
   (F₈; ®), bu yerda F₈={0,1,2,3,4,5,6,7}, n=8, R=2.
   
2. 
   (F _φ(7); ®) , bu yerda F₇={0,1,2,3, 5,6}, n=7, R=5.
   

3-xossa: agar murakkab modulli parametrli multiplikativ kommutativ gruppaning parametri modul n bilan o‘zaro tub bo‘lsa, uning tartibi φ(n) ga teng, bu yerda φ(n) – Eyler pi-funksiyasi qiymati.
4-xossa: agar murakkab modul n=pq, bu yerda p, q – har xil tub sonlar, parametrli multiplikativ kommutativ gruppaning parametri R modul q bilan o‘zaro tub bo‘lib, p bilan o‘zaro tub bo‘lmasa, uning tartibi p(q-1) ga teng.
Parametrli multiplikativ kommutativ gruppaning
1-, 2- , 4-xossalari an’anaviy multiplikativ gruppa (F_n; *) xossalaridan o‘z tartibi bilan farq qiladi. Masalan, an’anaviy binar ko‘paytirish amali asosida shakllangan multiplikativ gruppa moduli 2k bo‘lganda, faqat toq elementlardan tashkil topgan chekli to‘plamda mavjud bo‘lsa, parametrli multiplikativ kommutativ gruppa butun sonlar to‘plamida mavjuddir. Murakkab modul n=pq uchun parametrli multiplikativ kommutativ gruppaning parametri R modul p bilan o‘zaro tub bo‘lib, q bilan o‘zaro tub bo‘lmasa, uning tartibi an’anaviy multiplikativ gruppa (F_n; *) tartibiga nisbatan yuqori bo‘ladi. Bular kriptotizim yaratish va ularni tahlillashning yangi imkoniyatlarini yuzaga chiqarishi mumkin.