Murakkab funksiyadan hosila olish qoidalari

Murakkab funksiyadan hosila olish qoidalari

Murakkab funktsiyalar har doim ham murakkab funktsiyaning ta'rifiga mos kelmaydi. Agar y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 ko'rinishidagi funktsiya mavjud bo'lsa, u y \u003d sin 2 x dan farqli o'laroq, uni murakkab deb hisoblash mumkin emas.

Ushbu maqolada murakkab funktsiya tushunchasi va uning identifikatsiyasi ko'rsatiladi. Xulosadagi yechimlarga misollar bilan hosilani topish formulalari bilan ishlaymiz. Hosilalar jadvali va differentsiallash qoidalaridan foydalanish hosila topish vaqtini sezilarli darajada qisqartiradi.
Asosiy ta'riflar
Ta'rif 1
Murakkab funktsiya - bu argumenti ham funktsiya bo'lgan funksiya.
U shunday belgilanadi: f (g (x)) . Bizda g (x) funksiya f (g (x)) argumenti hisoblanadi.
Ta'rif 2
Agar f funktsiya mavjud bo'lsa va kotangent funktsiya bo'lsa, u holda g(x) = ln x natural logarifm funksiyadir. Biz f (g (x)) kompleks funksiyasi arctg (lnx) shaklida yozilishiga erishamiz. Yoki f funktsiyasi, ya'ni 4-darajali darajaga ko'tarilgan funktsiya, bu erda g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 butun ratsional funktsiya hisoblanadi, biz f (g (x)) \u003d (x) olamiz. 2 + 2 x - 3) 4 .
Shubhasiz, g (x) qiyin bo'lishi mumkin. y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 misolidan g ning qiymati kasrli kub ildizga ega ekanligini ko'rish mumkin. Bu ifodani y = f (f 1 (f 2 (x))) sifatida belgilash mumkin. Bizda f sinus funktsiya, f 1 esa kvadrat ildiz ostida joylashgan funktsiya, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 kasrli ratsional funktsiyadir.
Ta'rif 3
Uyalanish darajasi har qanday natural son bilan belgilanadi va y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... f n (x)))))) kabi yoziladi.
Ta'rif 4
Funksiya tarkibi tushunchasi muammo bayoniga ko‘ra ichki o‘rnatilgan funksiyalar sonini bildiradi. Yechim uchun shaklning kompleks funksiya hosilasini topish formulasi
(f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)
Misollar
1-misol
y = (2 x + 1) 2 ko`rinishdagi kompleks funksiyaning hosilasini toping.
Yechim
Shartnomaga ko‘ra f kvadratik funksiya, g(x) = 2 x + 1 esa chiziqli funksiya hisoblanadi.
Biz murakkab funktsiya uchun hosila formulasini qo'llaymiz va yozamiz:
f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4
Funktsiyaning soddalashtirilgan boshlang'ich shakliga ega hosilani topish kerak. Biz olamiz:
y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1
Demak, bizda shunday bor
y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4
Natijalar mos keldi.
Bunday turdagi masalalarni yechishda f va g (x) ko’rinishdagi funksiya qayerda joylashishini tushunish kerak.
2-misol
Siz y \u003d sin 2 x va y \u003d sin x 2 ko'rinishdagi murakkab funktsiyalarning hosilalarini topishingiz kerak.
Yechim
Funktsiyaning birinchi yozuvida aytilishicha, f kvadrat funksiyasi va g (x) sinus funksiyasi. Keyin biz buni olamiz
y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x
Ikkinchi yozuv f sinus funksiya ekanligini va g (x) = x 2 quvvat funksiyasini bildiradi. Bundan kelib chiqadiki, murakkab funksiyaning hosilasi quyidagicha yozilishi mumkin
y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)
y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (fn (x)))))) hosilasi uchun formula y "= f" (f 1 (f 2 (f 3)) shaklida yoziladi. (... ( fn (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x)))) f 2 " (f 3 (... . . fn (x)) ))) ))) . . . f n "(x)
3-misol
y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) funksiyaning hosilasini toping.
Yechim
Ushbu misol funksiyalarni yozish va joylashuvini aniqlashning murakkabligini ko'rsatadi. Keyin y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ifodalaydi, bu erda f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinus funksiyasi, funktsiya 3 darajaga ko'tarilish, logarifm va asosli e funktsiya, yoy tangensi va chiziqli funktsiya.
Murakkab funktsiyani aniqlash formulasidan biz buni olamiz
y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)
Nimani topish kerak

1. 
   f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) hosilalar jadvalidagi sinusning hosilasi sifatida, keyin f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)) )))))) ) = cos (ln 3 arctg (2 x)) .
   
2. 
   f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))) quvvat funksiyasining hosilasi sifatida, keyin f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 arctg (2 x) = 3 ln 2 arctg (2 x) .
   
3. 
   f 2 "(f 3 (f 4 (x))) logarifmik hosila sifatida, keyin f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
   
4. 
   f 3 "(f 4 (x)) yoy tangensining hosilasi sifatida, keyin f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
   
5. 
   F 4 (x) \u003d 2 x hosilasini topganda, darajali 1 bo'lgan quvvat funktsiyasi hosilasi formulasidan foydalanib, hosila belgisidan 2 ni oling, keyin f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2.
   

Biz oraliq natijalarni birlashtiramiz va bunga erishamiz
y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 arktan (2 x)) 3 ln 2 arktan (2 x) 1 arktan (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 arktan (2 x)) ln 2 arktan (2 x) arktan (2 x) (1 + 4 x 2)
Bunday funktsiyalarni tahlil qilish uyalar qo'g'irchoqlariga o'xshaydi. Differentsiatsiya qoidalarini har doim ham hosilaviy jadval yordamida aniq qo'llash mumkin emas. Ko'pincha murakkab funktsiyalarning hosilalarini topish uchun formuladan foydalanish kerak.
Murakkab ko'rinish va murakkab funktsiya o'rtasida ba'zi farqlar mavjud. Buni aniq ajratish qobiliyati bilan hosilalarni topish ayniqsa oson bo'ladi.
4-misol
Bunday misol keltirish haqida o'ylash kerak. Agar y = tg 2 x + 3 tgx + 1 ko'rinishdagi funksiya mavjud bo'lsa, u holda uni g (x) = tgx , f (g) = g 2 + 3 g + 1 ko'rinishdagi kompleks funktsiya deb hisoblash mumkin. . Shubhasiz, kompleks hosila uchun formulani qo'llash kerak:
f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3; g " (x) = (tgx) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 tgx + 3 ) 1 cos 2 x = 2 tanx + 3 cos 2 x
y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ko'rinishdagi funktsiya murakkab hisoblanmaydi, chunki u t g x 2, 3 t g x va 1 yig'indisiga ega. Biroq, t g x 2 murakkab funktsiya deb hisoblanadi, keyin biz tangensning funktsiyasi bo'lgan g (x) \u003d x 2 va f ko'rinishdagi quvvat funktsiyasini olamiz. Buning uchun siz miqdori bo'yicha farqlashingiz kerak. Biz buni tushunamiz
y " = (tgx 2 + 3 tgx + 1) " = (tgx 2) " + (3 tgx) " + 1 " == (tgx 2) " + 3 (tgx) " + 0 = (tgx 2) " + 3 cos 2 x
Keling, murakkab funktsiyaning hosilasini topishga o'tamiz (t g x 2) ":
f "(g (x)) \u003d (tg (g (x))) " \u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g " (x) \u003d (x 2) " \u003d 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)
Biz y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x ni olamiz.
Murakkab funktsiyalarni murakkab funktsiyalarga kiritish mumkin, murakkab funktsiyalarning o'zi esa murakkab shaklning murakkab funktsiyalari bo'lishi mumkin.
5-misol
Masalan, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) ko‘rinishdagi kompleks funksiyani ko‘rib chiqaylik.
Bu funktsiyani y = f (g (x)) shaklida ifodalash mumkin, bunda f ning qiymati 3 ta logarifmning funktsiyasi, g (x) esa h (x) = ko'rinishdagi ikkita funktsiya yig'indisi hisoblanadi. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 va k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Shubhasiz, y = f (h (x) + k (x)) .
h(x) funksiyasini ko'rib chiqaylik. Bu l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ning m (x) = e x 2 + 3 3 nisbati.
Bizda l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) ikkita n (x) = x 2 + 7 va p ( funksiyalarning yig'indisi) bor. x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , bu erda p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) - sonli koeffitsienti 3 bo'lgan murakkab funktsiya va p 1 a kub funksiyasi, p 2 kosinus funktsiyasi, p 3 (x) = 2 x + 1 - chiziqli funktsiya.
m (x) = ex 2 + 3 3 = q (x) + r (x) q (x) = ex 2 va r (x) = 3 3 funksiyalarning yig‘indisi ekanligini aniqladik, bunda q (x) = q 1 (q 2 (x)) kompleks funksiya, q 1 darajali funksiya, q 2 (x) = x 2 darajali funksiya.
Bu shuni ko'rsatadiki, h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
K (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) ko'rinishdagi ifodaga o'tganda, funktsiya s (x) \ kompleks shaklida ifodalanishi aniq. u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) butun ratsional t (x) = x 2 + 1 bilan, bu yerda s 1 kvadratik funksiya, s 2 (x) = ln x esa e asosi bilan logarifmik. .
Bundan kelib chiqadiki, ifoda k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) ko'rinishini oladi.
Keyin biz buni olamiz
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)
Funktsiya tuzilmalariga ko'ra, ifodani farqlashda uni soddalashtirish uchun qanday va qanday formulalarni qo'llash kerakligi aniq bo'ldi. Bunday masalalar bilan tanishish va ularning yechimini tushunish uchun funktsiyani differensiallash, ya'ni uning hosilasini topish nuqtasiga murojaat qilish kerak.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Agar g(x) Va f(u) nuqtalarda mos ravishda ularning argumentlarining differensiallanuvchi funksiyalaridir x Va u= g(x), u holda kompleks funksiya nuqtada ham differentsiallanadi x va formula bo'yicha topiladi
Hosilalarga oid masalalarni yechishdagi odatiy xato oddiy funksiyalarni murakkab funksiyalarga differensiallash qoidalarini avtomatik tarzda o‘tkazishdir. Biz bu xatodan qochishni o'rganamiz.
2-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Noto'g'ri yechim: Qavslar ichidagi har bir atamaning natural logarifmini hisoblang va hosilalari yig‘indisini toping:

To'g'ri yechim: yana “olma” qayerda, “qiyma” qayerda ekanligini aniqlaymiz. Bu yerda qavs ichidagi ifodaning natural logarifmi "olma", ya'ni oraliq argumentdagi funksiyadir. u, va qavs ichidagi ifoda "qiyma go'sht", ya'ni oraliq argumentdir u mustaqil o'zgaruvchi bo'yicha x.
Keyin (hosilalar jadvalidagi 14-formuladan foydalanib)

Ko'pgina haqiqiy muammolarda logarifm bilan ifodalash biroz murakkabroq, shuning uchun saboq bor.
3-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Noto'g'ri yechim:

To'g'ri yechim. Yana bir bor, biz "olma" va "qiyma" qaerda ekanligini aniqlaymiz. Bu erda qavs ichidagi ifodaning kosinasi (hosilalar jadvalidagi 7-formula) "olma" bo'lib, u 1-rejimda tayyorlanadi, bu faqat unga ta'sir qiladi va qavs ichidagi ifoda (darajaning hosilasi - 3 raqamida). lotinlar jadvali) "qiyma go'sht" bo'lib, u 2 rejimda pishiriladi, faqat unga ta'sir qiladi. Va har doimgidek, biz ikkita lotinni mahsulot belgisi bilan bog'laymiz. Natija:

Murakkab logarifmik funktsiyaning hosilasi testlarda tez-tez uchraydigan vazifadir, shuning uchun "Logarifmik funktsiya hosilasi" darsiga tashrif buyurishingizni qat'iy tavsiya qilamiz.
Birinchi misollar mustaqil o'zgaruvchining oraliq argumenti oddiy funktsiya bo'lgan murakkab funktsiyalar uchun edi. Ammo amaliy topshiriqlarda ko'pincha murakkab funktsiyaning hosilasini topish talab qilinadi, bunda oraliq argumentning o'zi murakkab funktsiya yoki bunday funktsiyani o'z ichiga oladi. Bunday hollarda nima qilish kerak? Bunday funksiyalarning hosilalarini jadvallar va differensiallash qoidalaridan foydalanib toping. Oraliq argumentning hosilasi topilsa, u oddiygina formulaning kerakli joyiga almashtiriladi. Quyida bu qanday amalga oshirilganiga ikkita misol keltirilgan.
Bundan tashqari, quyidagilarni bilish foydalidir. Agar murakkab funktsiyani uchta funktsiya zanjiri sifatida ifodalash mumkin bo'lsa
u holda uning hosilasi ushbu funksiyalarning har birining hosilalarining mahsuloti sifatida topilishi kerak:
Ko'pgina uy vazifalari uchun darsliklarni yangi oynalarda ochish talab qilinishi mumkin. Quvvat va ildizlarga ega harakatlar Va Kasrlar bilan amallar .
4-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Biz hosilalarning hosilasida mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argument ekanligini unutmasdan, kompleks funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz. x o'zgarmaydi:

Biz mahsulotning ikkinchi omilini tayyorlaymiz va yig'indini farqlash qoidasini qo'llaymiz:
Ikkinchi atama - ildiz, shuning uchun

Shunday qilib, yig'indisi bo'lgan oraliq argument atamalardan biri sifatida murakkab funktsiyani o'z ichiga oladi: darajaga ko'tarish murakkab funktsiya, darajaga ko'tarilgan narsa esa mustaqil o'zgaruvchining oraliq argumentidir. x.
Shuning uchun biz yana kompleks funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz:

Biz birinchi omilning darajasini ildizga aylantiramiz va ikkinchi omilni farqlab, biz doimiyning hosilasi nolga teng ekanligini unutmaymiz:

Endi masalaning shartida talab qilinadigan kompleks funksiyaning hosilasini hisoblash uchun zarur bo‘lgan oraliq argumentning hosilasini topishimiz mumkin. y:


5-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Birinchidan, biz yig'indini farqlash qoidasidan foydalanamiz:

Ikki kompleks funksiyaning hosilalari yig‘indisini oling. Birinchisini toping:

Bu erda sinusni kuchga ko'tarish murakkab funktsiyadir va sinusning o'zi mustaqil o'zgaruvchidagi oraliq argumentdir. x. Shuning uchun biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasidan foydalanamiz multiplikatorni qavs ichidan chiqarish :

Endi funksiyaning hosilasini hosil qiluvchilardan ikkinchi hadni topamiz y:

Bu erda kosinusni kuchga ko'tarish murakkab funktsiyadir f, va kosinusning o'zi mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentdir x. Yana murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasidan foydalanamiz:

Natijada kerakli hosila olinadi: