Butun sonlar xalqasida taqqoslamalar nazariyasi taqqoslama tushunchasi va uning xossalari

BUTUN SONLAR XALQASIDA TAQQOSLAMALAR NAZARIYASI

§1. Taqqoslama tushunchasi va uning xossalari

a va b butun sonlarni butun musbat soniga bo’lganda bir xil qoldiq qoladigan, ya’ni

a = mq₁ + r va b = mq₂ + r,

bo’lsa, a va b sonlar teng qoldiqdli yoki m modul bo’yicha o’zaro taqqoslanadigan sonlar deyiladi va quyidagicha yoziladi:

a  b (mod m)

“a son b bilan m modul bo’yicha taqqoslanadi” deb o’qiladi.

Agar a  b (mod m) bo’lsa, u holda a – b ayirma m ga qoldiqsiz bo’linadi, va aksincha, agar a va b sonlarning ayirmasi m ga bo’linsa, u holda a  b (mod m) o’rinli bo’ladi (taqqoslamaning ma’nosi haqidagi teorema).

Har qanday butun son m modul bo’yicha o’zining qoldig’i bilan taqqoslanadi, ya’ni, agar a = mq + r bo’lsa, u holda a  r (mod m) bo’ladi.

Xususiy holda, agar r = 0 bo’lsa, u holda a  0 (mod m) bo’ladi; bu taqqoslama m | a ekanligini, ya’ni m soni a ning bo’luvchisi ekanligini bildiradi, aksincha ham o’rinli, agar ma bo’lsa, u holda a  0 (mod m) deb yoziladi.

Taqqoslamalarning asosiy xossalari

(tengliklarning xossalariga o’xshash)

1. 
   Agar a c (mod m) va b  c (mod m) bo’lsa, u holda a  b (mod m) bo’ladi.
   
2. 
   Agar a  b (mod m) va c  d (mod m) bo’lsa, u holda a  c  b d (mod m) bo’ladi.
   
3. 
   Agar a + b  c (mod m) bo’lsa, u holda a  c - b (mod m) bo’ladi.
   
4. 
   Agar a  b (mod m) bo’lsa, u holda a  mk  b (mod m), yoki a  b  mk (mod m) bo’ladi.
   
5. 
   Agar a  b (mod m) va c  d (mod m) bo’lsa, u holda ac  bd (mod m) bo’ladi.
   
6. 
   Agar a  b (mod m) bo’lsa, u holda aⁿ  bⁿ (mod m) (nN) bo’ladi.
   
7. 
   Agar a  b (mod m) bo’lsa, u holda ixtioriy k butun son uchun ak  bk (mod m) bo’ladi,.
   
8. 
   Agar ak  bk (mod m) va (k,m) = 1 bo’lsa, u holda a  b (mod m) bo’ladi.
   
9. 
   Agar f(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + ... + a_n (a_i  Z) va x  x₁ (mod m) bo’lsa, u holda f(x)  f(x₁) (mod m) bo’ladi.
   

Taqqoslamalarninng maxsus xossalari

1. 
   Agar a  b (mod m) bo’lsa, u holda kN uchun ak  bk (mod mk) bo’ladi.
   
2. 
   Agar a  b (mod m) va a = a₁ d, b = b₁ d, m = m₁ d bo’lsa, u holda
   

a₁  b₁ (mod m₁) bo’ladi.

3. 
   Agar a  b (mod m₁), a  b (mod m₂), ..., a ( b (mod m_k) bo’lsa, u holda
   

a  b (mod M) bo’ladi, bu yerda M = [m₁, m₂,..., m_k].

4. 
   Agar taqqoslama m modul bo’yicha o’rinli bo’lsa, u holda bu taqqoslama m ning ixtiyoriy bo’luvchisi bo’lgan d modul bo’yicha ham o’rinli bo’ladi.
   
5. 
   Agar taqqoslamaning bir tomoni biror songa bo’linsa, u holda uning ikkinchi tomoni va moduli ham shu songa bo’linadi.