Тема несобственные интегралы

II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода
Пусть — некоторая первообразная для функции (сущест-вует на , т.к. — непрерывна). Тогда

Отсюда ясно, что сходимость несобственного интеграла (1) равносильна существованию конечного предела . Если этот предел обозначить , то можно написать для интеграла (1) формулу Ньютона-Лейбница:
, где .
Примеры.
4. .
5. .
6. Более сложный пример: . Сначала найдем первообразную:

Теперь можем найти интеграл _{, учитывая, что} :
.
III Свойства
Приведем ряд свойств несобственного интеграла (1), которые вытекают из общих свойств пределов и определенного интеграла:

1. 
   интегралы и сходятся или расходятся одновременно;
   
2. 
   если , то интегралы и сходятся или рас-ходятся одновременно;
   
3. 
   если интеграл сходится, то .
   

IV Другие определения
Определение 2. Если непрерывна на , то
.
Определение 3. Если непрерывна на , то принимают по определению
( – произвольное),
причем несобственный интеграл в левой части сходится, если только оба ин-теграла в правой части сходятся.
Для этих интегралов, как и для интеграла (1) можно написать соответствующие формулы Ньютона – Лейбница.
Пример 7.


Признаки сходимости несобственного интеграла 1-го рода
Чаще всего несобственный интеграл вычислить по определению не-возможно, поэтому используют приближенное равенство
(для больших ).
Однако, это соотношение имеет смысл лишь для сходящихся интегралов. Необходимо иметь методы выяснения поведения интеграла минуя определение.