Тема несобственные интегралы

Теорема 3 (признак абсолютной сходимости). Если сходится интеграл , то сходится и интеграл (такую его сходимость называ-ют абсолютной).
Пример 3. .
Рассмотрим модуль подынтегральной функции при :
.
Интеграл сходится как эталонный. Последовательно применяя 2-й и 1-й признаки сравнения, получим, что сходится. Значит, и исходный интеграл сходится, причем абсолютно.
Пример 4. .
Если к этому интегралу применить (незаконно!) свойство линейности, то получим разность двух несобственных расходящихся интегралов. На самом же деле для подынтегральной функции нетрудно получить эквивалент-ность в особой точке . Действительно,

.
Значит, при , и исходный интеграл сходится вместе с эталонным .


Замечания к теме
I Об интегралах смешанного типа
Если на бесконечном промежутке подынтегральная функция имеет особые точки, то интеграл разбивают на сумму отдельных интегралов, пользуясь свойством аддитивности. При этом необходимо, чтобы в каждом таком интеграле была бы одна особая точка, причем она являлась бы пределом интегрирования. Для простоты и бесконечно удаленную точку считаем особой.
Примеры. 1. . Здесь две особые точки: и . Разобьем интеграл на сумму двух:
.
При : , где . Поэтому интеграл сходится вместе с для любого . Если же , то , где . Значит, интеграл сходится вместе с лишь для . Окончательный вывод: данный интеграл сходится при .
2. Исследуйте самостоятельно интеграл , разбив его на сумму таким образом:
.
II О замене переменной в несобственных интегралах
В несобственных интеграла с одной особой точкой – конечной или бес-конечной, – которая к тому же является одним из пределов интегрирования, возможна замена переменной , где – монотонная непрерывно-дифференцируемая функция.
Примеры. 3. . Особая точка .
Замена: – монотонно возрастающая. Необходимые вычисления:
, , , .
Имеем
.
Обратите внимание на интересную особенность: исходный интеграл 2-го рода после замены превратился в несобственный интеграл 1-го рода. Он сходится по признаку Дирихле: функция – монотонно стремится к нулю, – имеет ограниченную первообразную .
4. . Особая точка . Замена: , , , . Имеем:
…
Это еще более интересный случай: несобственный интеграл после замены превращается в обычный определенный.