Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensial tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish talab etiladi

II BOB. GALYORKIN METODI

2.1. Galyorkin metodining g’oyasi

Rits metodining asosiy kamchiligi shundaki, u faqat operatori simmetrik va musbat bo’lgan tenglamalarga qo’llaniladi. Akademik B.G. Galyorkin 1915-yilda shunday metod taklif qildiki. u Rits metodiga nisbatan umumiydir. Bu metod hech qanday variatsion masala bilan bog’liq emas, shuning uchun ham u batamom universal metod hisoblanadi. Bu metodni elliptik, parabolik va giperbolik tenglamalarga, xatto ular variasion masala bilan bog’liq bo’lmasa ham, katta muvaffaqiyat bilan qo’llash mumkin. Agar tenglamaning operatori simmetrik va musbat bo’lsa, Galyorkin metodi osonroq yo’l bilan Rits metodi beradigan taqribiy yechimni beradi. Taqribiy yechimning koeffitsiyentlarini aniqlaydigan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bir xil bo’ladi. Galyorkin metodining yaqinlashishini akademik M. V. Keldish ko’rsatgan.

Endi Galyorkin metodining asosiy g’oyasi bilan tanishamiz. Faraz qilaylik,

(2.1)

tenglama berilgan bo’lib, — qandaydir ikki o’zgaruvchili differensial operator bo’lsin va (2.1) tenglamaning yechimi bir jinsli chegaraviy shartlarni kdnoatlantirsin. Bu masalaning yechimini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

,

bu yerda funksiyalar berilgan sohada to’liq bo’lgan chiziqli erkli sistemaning avvalgi tasi bo’lib, bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Taqribiy yechim aniq yechimga aylanishi uchun ifoda aynan nolga aylanishi kerak. Agar uzluksiz bo’lsa, bu talab funksiya sistemaning barcha funksiyalariga ortogonal bo’lishi bilan teng kuchlidir. Ammo

bizda faqat o’zgarmaslar bo’lganligi sababli ortogonallik shartining faqat tasini qanoatlantira olamiz. Bu shartlar quyidagi tenglamalar sistemasiga olib keladi:

yoki

.

Ushbu sistema koeffitsiyentlarni topishga xizmat qiladi. Agar operator chiziqli bo’lsa, u holda bu sistema larga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat bo’ladi. Bu sistemadan larni topib (2.2) ga qo’ysak, kerakli taqribiy yechimni hosil qilamiz.

Misol. Ushbu

(2.4)

chegaraviy masalaning yechimi topilsin.

(Osonlik bilan ko’rish mumkinki, aniq yechim ).

Yechish. (2.4) chegaraviy masalaga Rits metodini qo’llab bo’lmaydi, chunki bunda oldidagi koeffitsiyent . Bu misolda (2.2) taqribiy yechimini

(2.5)

ko’rinishda qidirsak, u holda chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.

Biz bu yerda, avvalo, deb olamiz, u holda , bo’lib,

bo’ladi. ni (2.3) ga qo’yamiz, natijada

y0ki

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Integrallarni hisoblasak,

kelib chiqadi. Bundan , va

ga ega bo’lamiz.

Endi bo’lsin, u holda , , va

deb olamiz. Bu yerda ni ko’rinishda yozib olsak u holda (2.3) sistema quyidagicha yoziladi:

Biz bu yerda bo’lgan holda hisoblangan

lardan foydalanishimiz mumkin. U holda ni aniqlash uchun quyidagi

tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

Bu sistemaning yechimi

; ; .

Shunday qilib,