Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensial tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish talab etiladi

Yechish. Bazis funksiyalar sifatida

larni olamiz, u holda chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan taqribiy yechimning umumiy ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

Biz avval deb olamiz, u holda

bo’lib, (2.10) tenglamalar sistemasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

Bundagi integrallarni hisoblab soddalashtirsak, natijada

(2.13)

sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistemaning determinantini nolga tenglashtirsak, ni aniqlash uchun

xarakteristik tenglama hosil bo’ladi, uning ildizlari , lardan iborat.

Xos sonlarning ani q ifodasidan quyidagilarni hosil qilamiz:

, .

Bundan ko’ramizki, birinchi xos sonning absolyut xatosi bo’lib, ikkinchisining nisbiy xatosi 15% dan iborat. Endi ning qiymatini (2.12) sistemaga qo’yib, , ga ega bo’lamiz, bundagi o’zgarmas sonni esa

normallashtirish shartidan topamiz, chunki bu shartni aniq yechim qanoatlantiradi. Bundan va

ni hosil qilamiz.

Endi deb olib, uchinchi yaqinlashishni

ko’rinishda izlaymiz. Yuqoridagi amallarni bajarib, ni aniqlash uchun ushbu

xarakteristik tenglamani hosil qilamiz, buning yechimlari

lardan iborat. Bulardan va xos sonlarning aniq qiymatlaridan ko’ramizki, birinchi xos sonning qiymati aniqlikda topildi, ikkinchi xos sonning aniqligi esa 0,9 %.

Endi ning qiymatini (2.13) sistemaga quyib, larni aniqlaymiz, ular o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida topiladi, ni ning normallashganligidan topsak, bo’ladi.

Natijada birinchi xos funksiya quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

Yuqoridagaga o’xshash boshqa masalalar uchun xos son va xos funksiyalarni Galyorkin metodi bilan topish mumkin. Masalan,

(2.14)

tenglama va

(2.15)

chegaraviy shart uchun xos son va xos funksiyalarni aniqlaydigan sistema

(2.16)

bo’lib, bu yerda

va ikkinchi tartibli xususiy hosilalarga ega bo’lgan, (2.14), (2.15) chegaraviy masalani qanoatlantiradigan funksiyalarning to’liq sistemasi. Xos sonlarning taqribiy qiymatini topish uchun (2.16) sistemaning determinantini nolga tenglashtirish kerak.