Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensial tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish talab etiladi

1.3. Puasson va laplas tenglamalari uch chegaraviy masalalar hamda ularni Rits metodi bilan yechish

Puasson va Laplas tenglamalari uchun chegaraviy masalalar._Aytaylik, tekislikdagi biror soha bo’lib, uning chegarasi va bo’lsin.

Faraz qilaylik, bizga

, (1.16)

Puasson tenglamasi berilgan bo’lsin. Bu tenglamaning chegarada

(1.17)

shartni qanoatlantiradigan yechimini sohada topish talab qilinsin, bunda berilgan funksiya. Agar bo’lsa, u holda

(1.18)

bo’ladi.

Biz, avvalo, (1.16), (1.18) chegaraviy masalani yechamiz. O’zining birinchi va ikkinchi hosilalari bilan da uzluksiz hamda chegarada nolga aylanadigan joiz funksiyalar sinfi da

(1.19)

operatorning simmetrikligi va musbatligini ko’rsatamiz. Buning uchun Grinning ushbu

(1.20)

formulasidan foydalanamiz. Faraz qilaylik, va bo’lsin. Ushbu ifodani ko’ramiz:

Endi Grin formulasida , deb olib, va chegaraviy shartlarni hisobga olsak, u holda

(1.21)

yoki

kelib chiqadi. Demak, operator simmetrik. Endi uning musbatligini aniqlaymiz:

Birinchi integralga Grin formulasini qo’llab, chegaraviy shartlardan foydalansak, quyidagiga ega bo’lamiz:

(1.22)

Demak,

(1.23)

Agar bo’lsa, u holda (1.23) formulaga ko’ra

Bundan va (1.18) chegaraviy shartdan

Shunday qilib, operator musbat ekan. Bundan kelib chiqadiki, (1.18) bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan (1.16) masala ushbu

(1.24)

funksionalning sinfda minimumini qidirish bilan teng kuchlidir. (1.23) formulaga ko’ra bu funksional quyidagi ko’rinishga ega:

(1.25)

Endi (1.16) chegaraviy masalani (1.17) bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartlar bilan qaraymiz.

Faraz qilaylik, funksiyalar sinfi da ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega va (1.17) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalardan iborat bo’lsin. 11.3-§ dagidek shunday funksiyani quramizki, u (1.17) chegaraviy shartni qanoatlantirsin. Ushbu

(1.26)

funksiyani kiritamiz, bu yerda bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartni qanoatlantiradi. U holda funksiya chegarada (1.18) shartni qanoatlantiradi:

(1.27)

va

(1.28)

operator tenglamaning yechimi bo’ladi, bunda ma’lum funksiya. Ushbu funksiya (1.28), (1.27) chegaraviy masalaning yechimi bo’lib, (1.24) formulaga ko’ra

(1.29)

funksionalga minimum beradi. Bu tenglikda avvalgi o’zgaruvchiga qaytib, skalyar ko’paytma va chiziqli operatorning xossalaridan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:

(1.29)

Bu tenglikdagi oxirgi ikkita had ga bog’liq bo’lmaganligi tufayli (1.27) funksionalga minimum beradigan funksiya quyidagi

(1.31)

funksionalga ham minimum beradi.

Endi (1.31) funksionalni shunday funksional bilan almashtiramizki, unda g funksiya qatnashmaydi. Buning uchun (1.21) formulada ishlatilgan almashtirishdan foydalanamiz:

Bu yerda vektor ga nisbatan tashqi norma va

, .

Bundan

ni hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz:

(1.32)

Ikkinchi tomondan, (1.22) formulaga asosan

(1.33)

Endi (1.32), (1.33) larni (1.31) formulaga qo’ysak, quyidagi kelib chiqadi:

.

Bu formuladagi oxirgi had funksiyaga bog’liq emas. Shuning uchun ham (1.16), (1.17) chegaraviy masala joiz funksiyalar sinfida

(1.34)

funksional uchun variatsion masala bilan teng kuchlidir.

Xususiy holda bo’lsa, biz

(1.35)

Laplas tenglamasiga kelamiz, u holda (1.16), (1.17) chegaraviy masala Dirixle masalasiga aylanadi. (1.34) formuladan ko’ramizki, Dirixle masalasining yechimi sinfda

(1.36)

Dirixle integraliga minimumni taʼminlaydi.
1.4. Dirixle masalasini Rits metodi bilan yechish

(1.35) va (1.36) Dirixle masalasini sohada yechish uchun shunday erkli funksiyalar sistemasini (bazis funksiyalarni)

tuzamizki, ular quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

U holda ixtiyoriy o’zgarmas sonlar uchun ushbu

(1.37)

chiziqli kombinatsiya joiz funksiyalar sinfiga kiradi. Endi (1.37) ifodani (1.36) integralga qo’yib, quyidagiga ega bo’lamiz:

(1.38)

Biz larni shunday tanlab olamizki, (1.38) integral minimumga aylansin. Buning uchun minimumning zaruriy shartlari bajarilishi kerak:

(1.39)

Ushbu

belgilashni kiritib, (1.39) sistemani quyidagi ko’rinishda yozib

(1.40)

olamiz:

Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechib, koeffitsiyentlarni aniqlaymiz. Shu koeffitsiyentlar bilan olingan funksiya Dirixle masalasining taqribiy yechimi bo’ladi. Bu yechimning aniqligi bazis funksiyalarning tanlanishiga va ularning soniga bog’liq.