T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

 
71->00
Endi,  {*„}  ketma-ketlikning  [ai;6 i]  dagi  istalgan  bir  hadini  olib,  uni
orqali, 
[a^b^
 dagi, 
xn
  hadidan keyin kelgan biror hadini olib 
X
  orqali,  [аз;6з] dagi
л'и, > 
x „2
  hadlaridan  keyin  kelgan  biror  hadni  olib 
x n^
  orqali  belgilaymiz.  Shu
jarayonni  davom  ettirib, 
x n  , x
n^. . .
  qismiy ketma-ketlikni hosil  qilamiz.
Tanlanishiga ko‘ra, 
x ^
  lar uchun 
a„
 1, 2,.  .  .  tengsizliklar o ‘rinli
bo‘lib, и -к о  da  lim 
x n  =c
  kelib  chiqadi.  ♦
3. 
Ketma-ketlikning quyi va yuqori limitlari. 
Aytaylik, 
{*„} 
ketma-ketlik 
berilgan bo‘lsin.
2.57-ta’rif.
  Agar  {*„}  ketma-ketlikdan,  limiti 
a
 bo‘lgan  qismiy  ketma-ketlik 
ajratib  olish  mumkin  bo‘Isa,  u  holda 
a
  son  {*„}  ketma-ketlikning 
qismiy  limiti
 
deyiladi.
2.58-ta’rif.
  {*„}  ketma-ketlikning  qismiy  limitlari  ichida  eng  kattasi  uning 
yuqori  limiti
  deyiladi  va  lim;tn  orqali  belgilanadi.  {*„}  ketma-ketlikning  qismiy
limitlan ichida  eng kichigi  uning 
quyi limiti
 deyiladi  va  [imjc„ orqali  belgilanadi
/Т—
КО
2.59-misol.
  Umumiy  hadi 
x„
  =(-1)"  bo‘lgan  ketma-ketlikning yuqori  va quyi 
limitlarini toping.
Yechish.  Berilgan  ketma-ketlikning  qismiy  limitlari  to‘plami  {-1,1}  dan 
iborat.  Demak,  limx„=l,  Hmxn=-1  boMadi.
2.60-misol
 
1 , 
2,  1,  3,  1, 4,  1,. 
.  ., 
1, n,. 
.  . 
ketma-ketlikning ketlikning yuqori 
va quyi  limitlarini  toping.
Yechish. 
Ketma-ketlikning  1,1,  1,.  .  .  qismiy ketma - ketligming limiti  1, va
1,  2,  3,  4,.  .  ., w,.  ..  qismiy ketma-ketligining limiti  -Hx> boMadi.  Demak,  limjtn=+x>,
n-+ao
lim x.= 1.
52

---

Qanday ketma-ketliklaming yuqon va quyi limitlari  mavjud? - degan savolga 
quyidagi  teorema javob beradi.
2.61-teorema.
 Ixtiyoriy ketma-ketlikning yuqori  va quyi  limitlari  mavjud. 
Isbot 
([1],  106-bet).