T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

2 n+l 
2" 
2 
2
Yechish. 
x„+i=
(/i + 1)! 
n\  n 
+ 1 
n
 +1 
Xn
2

---

Buning  uchun  j ( l + “ ) 
|   ketma-ketlikni  ko'rib  chiqamiz. 
Uning
kamayuvchi  ekanligi  2.17-misolda  isbotlangan  edi.  Uning  hadlari  musbat,  bundan 
uning  quyidan chegaralanganligi  kelib chiqadi.
Demak,  u  limitga ega.  Bu limitni 
e
 orqali belgilaymiz.
Shuningdek,
n + i  
,  
i  v  n + i
(
 
1\ ” 
( 1 + n) 
, i m ( 1 + n) 
e
lim  (1  +  - )   =   lim  ------ Ц
------
Ц
—  =  1
j  
_
  ( l + i } 
( l + i } 
l
demak,  [  1 + -   |  ketma-ketlikning  ham  limiti 
e
  ekanligi  kelib  chiqadi.  Bu 
e
  soni
irratsional  son bo‘lib,  uning taqribiy qiymati
e
  *   2,71828182845904590...
ga teng.
7-§.  Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi
2.54-teorema. 
Agar {xn}  va {yn}  ketma-ketliklar berilgan bo'lib,
1.  {xn}  o‘suvchi, 
[yn]
  kamayuvchi,
2.  barcha 
n   E  N
  lar uchun 
x n  < yn,
3- 
jirn 
(x n  — 
yn)
 
=   0  bo'lsa,  u  holda  {*„}  va 
{y
n}  ketma-ketliklar 
yaqinlashuvchi bo‘lib,  lim 
x n
  =   lim 
yn
 
tenglik o‘rinli  bo‘ladi.
П-> oo 
n-»oo
Isbot. 
0 Shartga ko‘ra barcha n  G 
N
  lar uchun 
x n  < 
yn
 
<   у г  bo‘ladi.  Demak, 
[xn]
  ketma-ketlik  o‘suvchi  va yuqondan  chegaralangan.  Shu sababli,  {*„}  limitga 
ega:  lim 
x n  =  c.