|
2.50-teorema.
Agar
{or,,}
cheksiz kichik ketma-ketlik va
a n Ф
0 ,n
= 1 ,2 , ...
boMsa, u holda umumiy hadi
x n =
— boMgan ketma-ketlik cheksiz katta ketma-
an
ketlik boMadi.
Isbot
(2-51-masala).
43
Agar
{дгл}
va
[>'„}
yaqinlashuvchi ketma-ketliklar bo‘lsa, u holda
{x n + yn),
{Хп-Уп}> {х пУп},
* o) ketma-ketliklaming har biri yaqinlashuvchi
boMishini ko'rib o ‘tdik.
Endi, yuqoridagi shartlaming ba’zilari bajarilmay qolgan
hollarda ham
yaqinlashish bor yoki yo'qligini ko‘rib o'tamiz.
1. / »
ko'rinishidagi aniqmaslik.
Ba’zan, lim
x n
= 0, lim
y n
= 0
u
7l->oo
7l-*oo
bo‘lgan holda ham {
x
n} va {yn} ketma-ketliklaming xarakteriga qarab, lim — ni
П-*oo yn
topish mumkin.
Masalan, a)
xn = - , y n
=
\
uchun lim - = 0, lim
= 0 va lim — =
71
71
n->oo
T l
П - + С О
П
n->oo
y n
1
lim
-f- =
lim n
= +oo
boiadi.
П-+
oo —г
П-» oo
n£
b)
x n = h > y n
= 3 uchun lim
—
= 0, lim
\
= 0 va lim — = lim
Щ-
=
n
n
71- * OO
п
71
- * СО П
71
- * CO y n
71
- * CO
— у
5-§. Aniqmasliklar
lim - = 0 bo‘ladi.
7
j-»oo
П
C)xn = - , y n = —
uchun lim - = 0, lim — = 0 va lim — = lim - 9- =
71
n + 1
n->00
n
п-юоП+l
71-+CG yn
71-* CO
----
71+1
lim — = lim (1 + - ) = 1 + 0 = 1 bo‘ladi.
n
—*00
n
n
~*00
Yuqoridagi misollardan ko‘rinibturibdiki, lim
x n
= 0, lim
y n —
0 bo'lgan
П-+00
n-> 00
holda lim — haqida bir qiymatli fikr aytish mumkin emas. Shu sababli ham bu
П
-*oo
yn
holda I —I ketma-ketlik «-» ko'nnishidagi
aniqmaslik
deyiladi. Aniqmaslikning
VB'
0
limitini topish
aniqmaslikni ochish
deb ham aytiladi.
2. «—» ko‘rinishidagi aniqmaslik.
Ba’zan lim
x n = oo,
lim
yn = oo
00
П-+00
n-»oo
bo‘lgan holda ham lim — ni hisoblash mumkin. Bu holda, yuqoridagi kabi, (—]
П—
*co
yn
n
°
ketma-ketlik «^» ko'rinishidagi aniqmaslik deyiladi.
44
a)
x„=n2+l, у„=2п2-п
uchun
lim ( w 2+ l ) = + o o , l im ( 2 w 2- « ) = lim w ( 2 - — )=+oo
rt-+CC
П-+СП
п-Ъ
CO
t'l
va
n2\
1+ A
" i + l
i:
” Г V
J
..
1 + „ 2
1
lim -s -= lim —-j-----= lim — ^------ r
\ = lim — Пг = ~
bo‘ladi.
n-vn у
я-ио
Zn — П
«-»«
2 j
2
1 J
2
^
1
n j
n
3. «О-оо»
ко Yinishidagi aniqmaslik.
Agar limjt„=0, limj„=oo boMsa, u holda,
Л
—W
f t
— >CC'
x
у
ХпУп=-£-
yoki
Х
г
У„=^-
almashtirishlar yordamida, «О оо» ko'rinishidagi aniqmaslik
Уп
0
oo
« - » yoki « — » ko'rinishidagi aniqmasliklarga keltirib yechladi.
0
oo
d)
x
„=——7 ,
у„=п*+2п
uchun lim ——- =0, lim(w3+2/i)=+oo va
n
+ 1
«->*>
n
+1
" 1 ■ v
1
L
n J
" 1\
l
и J
lim (x^y„)= lim ” +
2n =
lim —7— ^ - r = l boMadi.
Л-КО
n
->00
J
и-*»
Bulardan tashqari, «оо-оо», «О0», «1да», «ос0» ko'rinishidagi aniqmasliklar
mavjud.
Bunday
aniqmasliklami
ham
« - » yoki
« — »
ko‘rinishidagi
0
00
aniqmasliklarga keltirib yechiladi.
Mashq va masalalar
2-34 Ta’rifdan foydalanib, berilgan ketma-ketliklaming cheksiz kichik
ketma-ketlik ekanligini isbotlang:
ч 1 1 1
J_
, . 1 1 1
j_
. 1 1
j_
'
2, 4, 8, '" '2n”" ; C' '2
1
2-35. Umumiy hadi
a n — —ц ,к >
0 boMgan ketma-ketlikning cheksiz kichik
ketma-ketlik ekanligini isbotlang.
45
2-36. Chekli sondagi cheksiz kichik ketma-ketliklaming yig‘indisi cheksiz
kichik ketma-ketlik boMishini isbotlang.
2-37. Agar lim
x n
=
a,
lim
yn = b
boMsa, u holda lim (
x n
— y„) =
a — b
П
—*00
n —
*oo
n-*oo
boMadi. Isbotlang
Limitlami toping.
2-38. lim
2-39. lim
7l
->00
n
Л->оо 3 - П 2
_ . .
n 4+ 5 n 2—1
.
7
ti
2—1
2' 40- lim
2-41. lim
7J-*oo
10n3—371+2
■
n
-,00
Sn3 + 4 n 2—2n +
l
2-42. lira
2-43. lira
n-*oo 2 1 n J + 7 n —8
n-*oo
n 2+1
2-44. lim V" 2*3n
2-45. lim
271+1
П-*оо
П
+ 2
ii-to o V n T + n + 4
2-46. lim
- n )
2-47. lira
n-*oo v n ^ + T — V 8 n 3 +2
n+cos7m
-
2-48. {xn} ketma ketlikning
a
limitini toping, bu yerda xn =
a
| kattalik £ dan kichik boMadigan N nomemi ko‘rsating, agar
l)£ = f; 2 )e = 0,1; 3)
e
= ^boMsa.
2-49. Quyidagi {xn} ketma-ketliklaming uzoqlashuvchi ekanligini isbotlang:
l ) x n = ( - ! ) "
2) x n = l + ( - l ) "
3 )x n = s i n y
4)
x n
= (—5)n
5
) x n = n 2
6)* n = 1 + 2
+
- +
n.
2-50. Shunday yaqinlashuvchi {x„} va {yn} ketma-ketliklarga misol
keltiringki, quyidagi shartlar bajarilsin:
1) barcha n uchun xn > yn , ammo lim xn = П т у п:
П->оо
71-+00
2) barcha n uchun xn > 100yn > 0 , ammo lim
x n
= lim yn.
П-*
00
71-400
2-51. 2.50-teoremani isbotlang.
2-52. {>„} ketma-ketlik yaqinlashuvchi va lim
x n
=
a.
{|xn |} ketma-ketlik
n-*oo
yaqinlashuvchi va lim
\xn \
= |a | ekanligini isbotlang.
46
2-53.
[xn]
ketma-ketlik
uzoqlashuvchi,
lekin
{|*n |}
ketma-ketlik
yaqinlashuvchi bo‘lgan ketma-ketlikka misol keltiring.
2-54. Agar
x n >
0 ,n e
N
va lim
x n = a
boMsa, u holda
n-> OO
a)
у/хЦ
= Va; b) Jim
\fx.~
=
\fa
ekanligini isbotlang.
2-55. Shunday {xn } va {yn} ketma-ketliklarga misol keltiringki, lim
x n —
П->оо
0, lim
y n
= 0 va 1) lim — = 0;
2) lim — = 1;
3) lim — =
oo;
boMsin. 4)
Л-»oo
n-»co
Уп
71
—
>oo
yn
7
oo y „
7
lim — mavjud emas.
n->00 Уп
2-56. Shunday {дсп} va {yn} uzoqlashuvchi ketma-ketliklarga misol
keltiringki, quyidagi ketma-kethk yaqinlashuvchi bo'lsin:
1){*„+У„};
2 )(x n -yn};
3 ) M .
^Уп
*
2-57. Aytaylik, Jirn
xn — x, x n Ф
0 boMsin.
ketma-ketlik haqidanima
aytish mumkin?
2-58.
a
ning qanday qiymatlarida umumiy hadi
x n
=
boMean
"
n
—2
S n + 2
°
ketma-ketlik limiti a)
+oo;
b) —
oo;
c) chekli son boMadi?
6
-§. Monoton ketma-ketlikning limiti. e soni
2.51-teorema.
Agar
{*„}
ketma-ketlik o ‘suvchi boMib, yuqoridan
chegaralangan bo‘Isa, u holda {*„} limitga ega, agar yuqoridan chegaralanmagan
boMsa, u holda limjt„=-foo boMadi.
Isbot.
0 Faraz qilaylik {*:„} ketma-ketlik o ‘suvchi va yuqoridan chegaralangan
boMsin. U holda {*„,
n=
1, 2 ,. . .} to‘plam ham yuqoridan chegaralangan boMadi va
shuning uchun, uning aniq yuqori chegarasi mavjud. Uni
a
orqali belgilaymiz:
a=sup{x„}. Endi
a
ni {*„} ketma-ketlikning limiti boMishini koMsatamiz.
To‘plamning aniq yuqori chegarasi xossasiga ko‘ra (I-bob, 8-§.) barchawe N
lar uchun
xn
boMadi. Shuningdek, har bir eX) uchun shunday
n '
son mavjud boMib,
47
xn >a-e
bo'ladi. Shartga ko'ra {x„} o‘suvchi ketma-ketlik, shu sababli barcha
n > n '
larda
а-ъ<хп<а+e
tengsizlik o'rinli. Demak, ta’rifga ko'ra limx„=
a
Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz.
Aytaylik, {x„} o‘suvchi bo'Iib, yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsin. U holda
har bir A>0 son uchun shunday w’e N son mavjudki, x„->A bo'ladi. Shuningdek,
barcha
n>n
lar uchun
x„>x
n■
ekanligi va yuqoridagilarga asosan,
x„>A
tengsizlik
o'rinli bo'lishi kelib chiqadi. Demak, ta ’rifga ko'ra limx„=+oo. Shunday qilib,
monoton o'suvchi ketma-ketlik uchun limx„ = sup{x J ekan. ♦
Yuqoridagi usul bilan quyidagi teoremani ham isbotlash mumkin (2-52-
masala).
2.52-teorema.
Agar {x„} ketma-ketlik kamayuvchi bo'lib, quyidan
chegaralangan bo'lsa, u holda
{x„}
limitga ega, agar quyidan chegaralanmagan
bo'lsa, uholda limx„=-oo bo'ladi.
munosabatdan, barcha
ri>
1 larda xn+i . . .
2"
kamayuvchi ekanligi kelib chiqadi. Shuningdek, barcha we N larda x„= — >0. Shu
n\
sababli, {x„} ketma-ketlik chekli limitga ega, uni
a
deb olamiz: limx„=ar. Ushbu lim
x ^ i- lim
• limx„ munosabatdan
a=Q a
va
a=0
kelib chiqadi. Demak, lim —
n~>®
n +
1 n->00
*
fj\
=
0
.
2.53-misol
{x„}-
ketma-ketlikning limitini toping.
Do'stlaringiz bilan baham: |
