T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

> 
log3;-  Agar 
n0  = 
[log3 
deb  olsak,  u  holda  barcha 
m , n >   n0
 
lar  uchun
I
x m 
~  x n\
 
<  
£
  o‘rinli  boMadi.  Demak,  berilgan  ketma-ketlik  fundamental  ketma- 
ketlik boMadi.
2.64-teorema.
  (Koshi  teoremasi).  Biror,  {*„}  ketma-ketlik  yaqinlashuvchi 
boMishi  uchun,  uning fundamental ketma-ketlik boMishi zarur va yetarli.
Isbot. 
0 
Zarurligi.
  Aytaylik,  {.*„}  yaqinlashuvchi ketma-ketlik va uning limiti 
a
 boMsin, ya ni 
H m -T „ = a . 
Limit ta’rifiga ko‘ra, ixtiyoriy e>0  uchun,  shunday 
n<£
  N
n —X V
s
son  mavjud  boMib,  barcha 
n>nQ
  larda 
\xn-a\< ~
  tengsizlik  o ‘rinli  boMadi.  Bundan, 
barcha 
n,  m>n0
 lar uchun
£ 
S
^ n-.xm|=|(x„-a)-(xm-a)|<
\xn-a\+\xm-a\< —
 + — =e
53

---

kelib  chiqadi.  Demak,  {*„}  fundamental  ketma-ketlik bo'ladi.
Yetarliligi.
  Aytaylik,  {*„}  fundamental ketma-ketlik boMsin. U holda ixtiyoriy 
£>0 
uchun  shunday 
n
oS  N   son  mavjud  bo‘lib,  barcha 
n,  m>n0
  lar  uchun 
\хп- х т\<г
 
tengsizlik  o'rinli  boMadi.  Bundan xm-s< x nm
 
ning  bitta  tayin  qiymatini  olsak,  u  holda  {jc„}  ketma-ketlikning  chegaralangan 
ekanligi kelib chiqadi.  Bolsano-Veyershtrass lemmasiga ko'ra  {*„}  ketma-ketlikdan 
yaqinlashuvchi  {
x n
  }  qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin:  Hm 
x n  =c.
Endi, 
с
 soni  {x„}  ketma-ketlikning ham limiti  bo'lishini  ko'rsatamiz.
Biror  к  sonini 
-c|
va 
n£>n0
  tengsizliklar  bir  vaqtda  o'rinli  bo'ladigan
qilib  tanlaymiz.  Agar 
m=nk
  deb  olsak,  u  holda  barcha 
n>n0
  lar  uchun  | x „ - | < e  
tengsizlik o'rinli  bo'ladi.  Bulardan
|хи-с|=|хи--ХЯ1 + x ^  -c|<|x„-x^  |+)x„t 
-c|
kelib  chiqadi.  Bu  esa,  {x„}
ketma-ketlikning yaqinlashuvchi ekanligini  ko'rsatadi>
Isbotlangan  teorema  ketma-ketlik  yaqinlashishining 
Koshi  kriteriyasi
 
(alomati) deb ham yuritiladi.
2-59  Ketma-ketlik  o'suvchi  emas;  ketma-ketlik  kamayuvchi  emas  degan 
tasdiqlami ayting (ifodalang).
2-60.  Ketma-ketliklarning monoton  emasligini  ko'rsating:
2-61.  Quyidagi  ketma-ketliklarning  biror  hadidan  boshlab  kamayishini 
ko'rsating:
2-62  Rekurrent usulda berilgan  {
x
n} ketma-ketlik uchun quyidagi jumlalami 
isbotlang, 
bu  yerda  xt  =   3 ,x n+1  =   0,5x£  -  1: 
1) 
ketma-ketlik 
quyidan 
chegaralangan, ammo yuqoridan chegaralanmagan; 2) ketma-ketlik o'suvchi.