T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

Xs + \ 
Л 
В  С 
D
 
■
 = — +
----- + -------- -  +  •
x ( x - l )  
x
 
x - 1  
( x - l ) : 
( x - 1 ) 3
Bundan 
x
3
+l=A(x-J)
3
+Bx(x-1)
2
+Cx(x- 1)+Dx
  kelib  chiqadi. 
Endi  x 
o'zgaruvchiga  0,  1,  2  va -1  qiymatlar berib,  quyidagi  tenglamalar  sistemasini  hosil 
qilamiz:
244

---

-А =
 1,
D= 2,
' 
A + 2 B  + 2C + 
2
D = 9,
 
{ - % A - 4 B + 2 C - D  = 0.
Bundan 
A =-l, B=
2, 
C=
 1, Z)=2 ni  topamiz.
x3 + l
■t/x
X
dx
dx
dx
r x + i  
rax 
Г  ax 
г 
ax
 
r 
ax
Demak,  ---------r- + 2 \
------- r =
x (x  — 1) 
^ 
X
 
V r - 1   M r  —IV 
J ( y —
 П3
x - 1   J ( x - l ) J
(x-1)
=  — In |x| +  21n|x —1|---- ^---------
^—
t
 + C  .
11 
1 
1  x - 1  
( x - 1 ) 2
( x - 1  
Y
9.28-misoI. /=   f x 
—
- d x
  integralni  hisoblang.
J  x  - 4 x
Yechish.  Integral  ostidagi  kasr-noto‘ g ‘ ri  kasr.  Uning  butun  va  to‘g ‘ri 
qismlarini  ajratib olamiz:
4
x
2 + 16
x
- 8
x 5  +  x 4 — 8 
x 3 -  4x
=x‘ + x + 4  + -
x ( x - 2 ) ( x  + 2)
To‘ g ‘ ri  qismi 
*  
—-   ni sodda kasrlarga ajratamiz (qarang 9.26-misol),
x  -  4x
x 3 — 4x 
Bundan
/=
x  
x + 2  
x - 2
tenglikka ega boiam iz.
f[  2  , 
л 
l  
5
 
5 
]  , 
X 
X' 
rdx 
t  dx
 
r 
dx
II  X  + X + 4 + ---------- + ------  
m
X 
—
 — i----- h4x + 2 1----- 3  ------ + 5   ------ =
■4 
x  x + 2  
x - 2  
I
 
3 
2 
'  x
 
■*  v + 9  
J  r  —?
dx
x
+ 2
dx
x - 2
— —  + 4^“ + 4x + 2 l n | x | —3 1 n |x + 2 |+ 5 1 n |x  —2 |+ ln C  = —  + — + 4x +
+ln
C x \ x -
2
f
(x  +  2 
У
9.29-misoI. 
—
dx
  integralni  hisoblang. 
J  x  - 8
245

---

Yechish. 
Integral ostidagi funksiya to‘g ‘ ri  kasrdan iborat.  Uni sodda kasrlarga 
ajratishni  9.24-misolda  ko‘rgan  edik.  Shu  yoyilmadan  foydalanib  integralni 
hisoblaymiz:
f - r — '
dx-
J  -r  _ 8
J
Bx + C
A = ~,
 
3
B = C = -
 
3
( x - 2 ) ( x : + 2x + 4) 
J U - 2  
x
2
 + 2x+ 4
= ~ } ~ ~  +  | | - T 2 ir + 2  
d x = - l n \ x -
2
\ + - j d ^\  +
2
x +
4
) = - \ n \ x -
2
\
3 
x - 2  
3 J  x  + 2 x + 4
 
3 
1 
1  3 J 
x  + 
2
x + 
4
 
3
 
1 
1
3 J x - 2  
3
j x
2 + 2
x
 + 4
 
3 
'  3
3 
x 2 + 2 x +  4 
3
+ -  In | x 2 + 
2x
 + 4 1 +  ~  In 
С.
 = In | (C (x  -  2)(x2 + 
2x
 + 4))5 |= In 
tJC(x
3
 -  8 ).
9.30-izoh. 
Integrallami  hisoblashda  har  doim  ham  tayyor  sxemalardan 
foydalanishga  harakat  qilavermaslik  kerak.  Xususan,  yuqoridagi  misolda
x~dx = - d ( x
3
 -
 8)  ekanligidan  foydalanish  mumkin  edi.  U  holda  f— __
dx=
J 
J v 3_ 1
1 г 1,  , 
з
 
, 1  
/-----------
3
 J 
dx =
 -  In IX3 -  8 1 +  -  In 
С
 =  In ^/C(x3 
-
 8) .
Mashq  va  masalalar
Sodda kasrlami  integrallang (40-47)
9-40./
9 - 4 2 /
4 
dx 
x+3'
1 1
 
dx 
(x+2)3' 
(x
+ 6
 
)dx
9-41./
J
  (x —l)
9-43.  /
dx
x 2—2x+17 
dx
9-44 /
9-46  f
J
  (x
2
+ l
)3
Integrallami  toping (48-53):
9 - 4 5 /
9-4 7 f e
X2+10
x
+29
(4 x -l)d x  
x
2
+ x + l 
dx
(x2—4X+29)2
9 - 4 8 /
9
-
5 0
/
2
x —3
(x-5)(x+2)
dx 
x
4
+ x 2 ’
dx.
9-49.  /
•>  r
2
 —
x
+2
x
2
—
6
x+S
■dx.
951
 
j z Z i g + d x .
 
J
  X
3
—4x
246

---

9
-
52. 1 
9-53  r I f ± ^ t E 2 l z I Z dx,
x  —8 
J  (xz+9)(x2+ x -2 )
6
-§.  Trigonometrik ifodalarni integrallash
Kelgusida 
R(u,v,...,w)
  kabi  belgilashdan  foydalanamiz.  U  
u,v,...,w
  larga
nisbatan  ratsional funksiyani,  ya’ni 
u,v
.....
w
  va haqiqiy sonlar ustida chekli  sondagi
to‘ rt arifmetik amalm bajarish natijasida hosil boMgan ifodani  anglatadi.  Bu yerda 
u,
 
v, 
...,w
  lar harf,  ifoda boMishi  mumkin.
/Г  2 _
Masalan, 
R(u,v)= 
и
 va v larga nisbatan  ratsional funksiya;
3u
 +  4vJ — 1
R {x,sfx,ljx)=   ^  + 
x 
\fx
  larga  nisbatan  ratsional  funksiya; 
x
 + 3yx
i?(sin x,co sx) =  --3sin x + cos 
x 
sinx
  va 
cosx
  larga  nisbatan  ratsional  funksiya
3 — sin ' x + 2 eo sx
boMadi.
x + 4\[x —
 3  ifoda x ga nisbatan  ratsional  funksiya emas, chunki  ifodada x dan 
ildiz  chiqarish  amali  ham  ishtirok  etmoqda.  Lekin  x,  Vx  larga  nisbatan  ratsional 
funksiya boMadi.
/  =  Jft(sin x,co sx)c&   integralni  qaraylik.  Ushbu  integralni  hisoblash  uchun
x
umumiy  usul  mavjud.  Haqiqatdan ham, 
t = tS ~
  almashtirishni bajarsak,
, 
2d,
 
1-,= 
. 
2« f  
2, 
x =  2
arctgt,  dx =
------   co sx = -------- ^  = ------   s m x = ------ £—=  ■
1 + ' ”  
l + ^ i  
1 + ' ! ' 
i + r g ! -  
I + , i
2 
2
kelib  chiqadi.  Bu ifodani  integralga q o‘ysak,
r 
r n,
  2/ 
l - / \   2
dt 
f
 _  .  .  .
=  I   = i R'(l)d'
hosil  boMadi.  Bunda/? o ‘z  argumentlarining ratsional  funksiyasi  boMgani  uchun 
Ri
 
ham  ratsional  funksiya  boMadi.  Demak,  berilgan  integral  ratsional  funksiyalami 
integrallashga keltiriladi.
247

---

9.31-misol.  [ — — —   ni  hisoblang 
■*  1 + s in *
x
Yechish.  Bunda 
tg — = t
  almashtirishni  bajaramiz.  U holda
f 
^x 
~
  f 
* 
-
  f 
,
•Ч + sin x   v
 
2/ 
l +  /2 
-4 + 2 
t + r
 
J
1 + - = -  
-  ( ' + ! )  
/ + 1 
l + t g -
l + t
2
 
й  2
boMadi.
x
Shuni  ta’ kidlash  kerakki, 
t — tg —
  universal  almashtirish yordamida 
f 
dx
---------- — -------   ko‘ rinishdagi  integrallami  hisoblash osonlashadi.
J
 a c o s x + fts in x  + c
n   -* 
• 
f  
t/Y
9.32-misol.   
integralni hisoblang.
J 9 +  8 c o s x +  sinx
x
Yechish. 
tg — = 
t
 
almashtirishdan  foydalanamiz.  U holda 
f
______ ^ ______ - r  
2 
dt 
t 
2
di
{ 
i + t
2
 
i
+ s   i
9 +  8 c o sx  +  sin x   J 
f  
8(1 —f2) 
2/  A  b 2 + 2/ +  17
x
_ -(• 
c / ( f + l )  
1
 
t + \
 
_ 
1
 
^ 2  + 1  ^
— 2  —----------- =  
—arctg
----- +  С  =  
—arete
 — “ ---- + 
С
  .
J (r+ 1 )2 + 1 6  
2 
* 4  
2 
4
K o ‘pgina  hollarda  bunday  universal  almashtirish  murakkab  ratsional 
funksiyalami  integrallashga  olib  keladi.  Shuning  uchun,  b a’zi  hollarda  boshqa 
almashtirishlardan foydalanish ancha qulay  boMadi.
a) 
R(sinx
, 
-cosx)=-R(sinx,  cosx)
  boMsa, u holda 
sinx=t
 almashtirish bajariladi. 
Agar 
R(-sinx,  cosx)=-R(sinx
, 
cosx)
  bo  lsa,  u  holda 
cosx=t
  almashtirish 
bajariladi.  Nihoyat,
R(-sinx,  -cosx)=R(sinx
, 
cosx)
  boMsa,  u  holda 
tgx=t
  almashtirishdan 
foydalaniladi.
dx
 
co s4*
r  dx
9.33-misol,  ---- 7 
integralni  hisoblang.
J
  r * n c  
V
248

---

Yechish. 
Bu holda integral  ostidagi  funksiya uchun 
R(-sinx,  -cosx)=R(sinx,  cosx) 
shart bajariladi, 
tgx^t
 
almashtirishdan foydalanamiz.  Natijada
J  -  
d-4-
  = J(1 + 
tg 2x)d(tgx) 
=  J(1 + 
t 2)dt = t 
+ — + 
С
 = 
tgx+ 
+ 
С
  bo‘ ladi. 
cos 
x
 
3 
3
b) 
/  = Jsin''x- 
cos'" xdx 
integralni  qaraylik.  Bunda 
m,  n-
  butun  sonlar.
 
Quyidagi  uchta holni  ko‘ramiz:
1)
 
m
 
va 
n
 
lardan  hech boMmaganda bin  toq son bo‘lsin.  Masalan, 
m-
 
toq  son,
 
y a ’ni 
m=2k+\,
  /г-butun  son.  U  holda 
t=sinx,  dt=cosxdx,  cos2kx=(l-sin2x)k=(\-t2) k 
almashtirishlar natijasida
7 =  
Jsin" 
x- 
cos'" xdx =
 Js in " x c o s 2* xcosxrf* =  
J/"- 
(1 
— t 2)kdt 
bo‘ ladi.
Demak, 
t 
ga nisbatan  ratsional funksiyaning integraliga ega boMamiz.
9.34-misol. 
J  
sin4 2x- cos3 
Ixdx 
integralni  hisoblang.
Yechish. 
|s i n
42
x -c o s J
2
xrfx: = Jsin
4
 
2
x ( l - s i n
2
 
2
x )c o s
2
xrt!)c =
= — 
J f 4(l 
— 
t')dt
 = —
— 
~ ^ 7
 + 
С = 
2x —
— sin
7
 
2x + C
  kelib chiqadi.
2) 
m
  va 
n
  musbat juft  sonlar  boMsin,  ya’ni 
m=2s,  n=2k,  s,  k-
  natural  sonlar.
 
Bu holda ushbu
2 
l + co s
2
x 
. 
2
 
l - c o s
2
x
cos 
x =
-------------,  sin 
x =
------------- ,  sin
2
x = 
2
sin x c o s x  
formulalardan
2 
2
foydalanish  maqsadga  muvofiqdir.  Bu  formulalar  orqali 
sinx
  va 
cosx
  laming
darajalarini  pasaytirish  mumkin  boMadi.
9.35-misoI. 
Jsin
4
 x  cos
2
 
xdx 
ni hisoblang.
Yechish. 
J sin ’ x-  cos
2
 
xdx = 
J sin
2
 x (sin x c o sx
)2
dx =
= f —( l - c o s
2
x)(— 
s\n 2xfdx=
 -  [sin
2
 
2xd x ~-
  [sin
22
x-  c o s
2
xdx- 
3 2
 
2
 
8 J 
8 J
=■—  
f 
(1 -  cos 4
x)dx
 — — f sin
2
 
2xd(sit\ 2x) =
  —  x - — sin 4 x  - — sin
3
 2 x  + 
С . 
16s
 
16J 
16 
64 
48
249

---

3) 
Agar 
m
  va 
n
  lar  juft  sonlar  bo'lib,  ulaming  kamida  biri  manfiy  bo'lsa, 
yuqorida bayon  qilingan  usul  maqsadga olib  kelmaydi.  Bunda 
tgx  t
  almashtirishni 
bajarish  lozim bo'ladi.
c) 
jig"xdx,  jctg"xdx,  n
-natural  son, 
n>
 1  ko'rinishdagi  integrallar  mos 
ravishda 
tgx=t
 va 
ctgx=t
 almashtirishlar yordamida hisoblanadi.
Masalan, 
tgx=t, 
x=arctgt, 
dx =
---- - 
almashtirishlami 
bajarsak,
1 + r
f
tg'‘xdx =
  f
——- d t
  hosil  bo'ladi.  Demak,  berilgan  integral  ratsional  funksiyani 
J 
J 1 +
1
~
integrallashga keltiriladi.
9.36-misol. 
^tg'xdx
  ni  hisoblang.
Yechish.  Yuqoridagi  almashtirishlami  bajarsak,
f 
tg' xdx =
  f
- t—j d t
 =   f (f3 -  / +  
-
4
—  )dt
 =  -—  — +  -  f 
+
 ^   =
J 
J l + f 2 
3
 
t
2
 +
1 
4 
2 
2 J 
t
2
 +
1
=  ! : . £ + V
 +  i) + c ^
i
+ i i n ( ^ + i ) + c
4 
2 
2 
4 
2 
2
hosil bo'ladi.
d)  J s in /гх- 
cosmxdx,
 
Jcosm :-cos/ra*£c, 
Jsinnx-sin/mx/x: 
ko'rinishdagi  integrallami  hisoblash  uchun  ushbu
sinm:  co s
mx -
 — (sin (« 
- m ) x  +
 sin(w + m)x), 
cos 
nx ■
 cos 
mx
 =  
—
 (cos(w
- m ) x +
 cos(/i +  m)x), 
sin их  sin 
mx
 =  ^(cos(w  -  
m)x -
 cos
(n
 + 
m)x),
formulalardan  foydalanib,  berilgan  integrallami  yig'indining  integraliga  keltirish 
mumkin.
9.37-misol.  Jsin5x- cos3xtfr  ni hisoblang.
Yechish.  Jsin 5x-  cos3xflfr =  ^ J*(sin (5 x -  3 x )+   sin (5x+  3x))&  =
250

---

=  — f s i n 2 x + -  fsin8xc/x =  - —c o s 2 x - — cos8x + C 
2 J 
2 J 
4 
16
Mashq va masalalar
Integrallami  toping (54-69):
9-54
  f
J
  C O S  
X
9 - 5 6 /
dx
5 + 4 sin x ' 
dx
2 sin x -c o sx + 5
dx
5sinzx-3 co s2x+4
dx
9-58. /  —
J
  9 oi
9-60 , /
9-62. 
Г 
,  .
J   l + 3 c o s 2x
9-64./ s in 5*   dx. 
9 .6 6
^  
C O S7 X
9-68. /  s in 6*  dx.
9-57./ 
9-59.  /
dx.
2
-sin  a:
2
+cosx 
1
+sin x 
(l+co s x) sinx 
dx
dx.
9-61./ ——7— — — .
4sm zx+9cos2;c
9-63./
J 
sm*x
9-65. /  s in 4x  • c o s 5x dx. 
9 .6 7
 
f sin*xdx'
J
 
cosx
9-69./ s in 2x  ■ 
cos*xdx.
7-§. Sodda irratsional funksiyalami integrallash
Har  qanday  ratsional  funksiyaning  boshlang‘ich  funksiyalari  elementar 
funksiya bo‘ lishini  va  ulami  hisoblash  usullarini  ko‘ rib  chiqdik.  Lekin  har  qanday 
irratsional 
funksiyaning 
boshlangMch 
funksiyalari 
elementar 
funksiya 
boMavermaydi.  B iz hozir  boshlangMch  funksiyalari  elementar  boMadigan  b a’zi  bir 
sodda  irratsional  funksiyalami  integrallash  bilan  shug‘ullanamiz.  Ular asosan  biror 
almashtirish yordamida ratsional  funksiyaga keltiriladigan funksiyalardir.
ko‘rinishdagi integrallar.
Bu integral 
x = f,
  bu yerda 
s  0 h .^ h .t 
Щк.
  kasrlaming  eng kichik  umumiy
« 1
 
«2
 
«*
maxraji,  almashtirish natijasida ratsional  funksiya integraliga keltiriladi.
.....
t r> )sr'd i
251

---

л
.  .  Г 
'Jxdx
9.38-misol.  J 
—
j=
—
jj=
  ni hisoblang. 
v  
x — у/ x
Yechish.  1/2  va  1/3  kasrlaming  eng  kichik  umumiy  maxraji  6  ga  teng 
bo  lganligi  sababli 
x= f
 
almashtirish  bajaramiz.  U holda 
dx^et’dt
 
bo‘ Iadi.
Г 
\ f x d x  
г  t 1 6 i s 
, 
i   t 6 
r  
,
 
I
f
c
/
r
f
c
'
i , = 6 ! —
1 d , - 6 ! ^
+ '
+ ? +
t
> < * =
6 
3 
/-
= t6
 + — / 5 + — / 4 + 2 /? + 3 r  + 6 /+   6 l n | / - l |  + C  = x +  
—yfx*  +
5 
2 
1 1  
5
+ -V -r2  + 2>/x + 3-Vx + 6^/T + 6 1n |V r-1| + С 
7.2.1=1 
R
a x + b f  
( a x + b y
  j
d
  j  
’"'\~cx + d
  '  I 
k0‘ rinisW agi  integral
k 
cx
 + 1
Bu  integralda 
R-
o ‘z  argumentlarining  ratsional  funksiyasi, 
a,  b,
  c, 
d
  lar 
haqiqiy sonlar va 
(X^, О
С
ratsional son larbo‘ lib,  ulaming eng kichik  umumiy
maxraji 
m
  va 
a d -  be
 *  0  bo‘ lsin.  (Agar 
ad-bc=0
 boMsa,  u  holda 
~ -   b  =const
 va
R
cx + d
Г 
a x + b
 Y ‘ 
f a x  + / > Y " l 
\ c x +  d   j
  ’ ' " \ c x  + 
rf J  I 
if° d a *  ёЭ nisbatan  га^ опа1 funksiya bo'ladi).
Quyidagi
J a x  + b 
ax + b
 
t=
 
------ -  yoki 
Г ~
--------
\  cx + d  
cx + d
almashtirishni  kiritamiz.  U holda
t  d - b  
m(ad
 -  Ac)/'""1 
dt
x =
------ -  va 
dx=  ---
-------- — —
a —ct
 
(
a - c t
m)
bo  ladi.  Natijada,  berilgan  integral 
I
 ga nisbatan  ratsional  funksiyani  integrallashga 
keltiriladi,  y a’ni
/ = f «  
л " - ь
r . . l m ia d - bc)r '
 
a - c T
..............  
7 
(a - C l” )1
dt.
252

---

Bundan  aw al 
R
 ning  argumentlari  irratsional  ifodalardan  tashkil  bo'lsa,  endi 
argumentlar ratsional  va butun ratsional funksiyalarga keltirildi.
Qisqacha  qilib  yozsak, 
I=\.Ri(t)dt,
  bunda 
R,(t)  -
  ratsional  funksiya.  A w al 
olingan  natijalarga ko'ra bunday  integral  elementar funksiyalar orqali  lfodalanadi.
d x
9.39-misol. 
/=   { - 7=
—
j = =
  integralni  hisoblang.
y/X+] -\J X +
 1
Yechish. 
Integral  ostidagi  funksiya 
R(x,>]x + \ ,s j x +
1)  ko'rinishdagi 
funksiya  bo'lib,  bu  yerda 
, 
a 2 = ~ .
  Bu  kasrlaming  eng  kichik  umumiy
mahraji w=6.  U  h olda
^ = x+ l, x = f - l , d x ^ d t ,   J x + l^ t3,
  V *+7=^alm ashtirishlar
6
d t
 
/jy
bajarib, 
quyidagi 
—7^= ^ 7 — 1 
integralga 
kelamiz. 
Natijada
1  
=
 б | 
(t2 + t + \ + - l - ) d t  = 2t’ + 3t
2
 + 6r + 6 1 n [ r - l |+ C  =
= 2\Jx +
1 + 3
yjx
 +1 +  
6
\Jx
 +1 +  61n I 
\Jx
 +1 — 11
+C
  bo'ladi.
Mashq va masalalar
 
Integralni toping (70-73):
9-70^
f e
9'721щ Ы Ь ш
 
9-7 3 / т ^ г f
9-74. 
I
  =   /  
R [x ,\la x
2
  +  
bx
  +  
с 'jdx
  integralni,  agar
a) 
a
  <   0  va 
a x
2
  +  bx +  с
  kvadrat uchhad  a ,/?   haqiqiy  ildizlarga ega bo'lsa, 
u holda 
yJax
2
  +  
bx
  +  с  =  
(x  — a ) t
  almashtirish;
b) 
a  >
  0 bo'lsa, V a * 2 
+ bx  +  с  =   t -  x\[a
  yoki V a * 2  +  
bx  +  с  =   t +  xyfa
 
almashtirish;
c) 
с  >
  0 bo'lsa,  л/
a x
2
  +  bx +  с  =   x t  +  y[c
t ga nisbatan  ratsional funksiyaning integraliga keltirish mumkinligini  isbotlang. 
Yuqoridagi  almashtirishlar Eyler almashtirishlari  deyiladi.
253

---

9-75.  Ushbu  /  =   /  
x m  •
  (a   +  
b x n) pdx
  integral  berilgan  boMsin,  bunda 
m,  n.
 
p
 -  ratsional  sonlar, 
a v a b
-  haqiqiy sonlar. 
a +bx"
 binom (ikki had) boMgani tufayli 
integral  ostidagi  ifoda 
binomial  differensial
  deb  aytiladi.  Binomial  differensialga 
bogMiq quyidagi  teorema o ‘ rinli.
Teorema. 
(P.L.Chebishev  teoremasi).  Quyidagi  uch  holdagina  binomial 
differensialning integrali  elementar funksiya boMadi.
1 
-hoi. p
 -  butun son;
2
-hoi.  p  =  -
  kasr son,  lekin 
-
 butun son; 
s 
n
Ъ-hol.  p
  =   - va 
-  kasr sonlar,  lekin 
+  p  -
 butun son.
s 
n
 
n
Ushbu  uch  holda  binomial  differensialning  integrali  elementar  funksiya 
boMishini  koMsating.  Ko'rsatma.  1-holda 
p
  butun  son  boMsa, 
m
  va 
n
  kasrlaming 
umumiy  mahraji 
к
 ni topib, 
almashtirishdan  foydalaning.
2-holda 
a
  +  
bx n  =  t s
  almashtirishdan  foydalaning.
3-holda 
a
  +  
bxn
  =  
t sx n
  almashtirishdan  foydalaning.
254

---

X   BOB. ANIQ IN TEG R A L
1.1.  Y u za  haqidagi  m asala.  [
a;b
]  kesmada  uzluksiz  va  nomanfiy 
f(x)
 
funksiya  berilgan  b oisin . 
y=f(x)
  funksiyaning  grafigi, 
Ox
  o‘ q, 
x= a
  va 
x=b
  to‘ g ‘ri 
chiziqlar bilan  chegaralangan tekis figura 
aABb egri chiziqli trapetsiya
 deb  ataladi.
Hususiy  holda 
A
  bilan 
a
  nuqta  yoki 
В
  va  6  nuqtalar  ustma-ust  tushishi  ham 
mumkin,  yoki  har  ikki  hoi  bir  vaqtda  yuz  berishi  mumkin.  Bu  hollarda  ham 
qaralayotgan figura egri  chiziqli trapetsiya deb yuritiladi.
l-§. Aniq integral tushunchasiga olib keladigan m asalalar
59-rasm
aABb
  egri  chiziqli  trapetsiyaning  yuzini  topish  talab  qilinsin.  Buning  uchun 
[a; b]
  kesmani
a =x
0
 
< X
1
< X
2
< . . .

 
nuqtalar yordamida 
n
 ta bo iak k a bo‘lib va bu nuqtalardan 
Oy
 o ‘qqa parallel tolg ‘ ri 
chiziqlar  o ‘ tkazib, 
aABb
  egn  chiziqli  trapetsiyani 
n
  ta  kichik  egri  chiziqli 
trapetsiyalarga  bo'lamiz.  Endi  har  bir  [**-/,**]  kesma  ichida  ixtiyoriy 
%k
  nuqta 
olamiz.  Har  bir  trapetsiyada  asosi  [ * ы Л ]   va  balandligi  / £ * )   boMgan  to‘ g ‘ ri 
to‘trburchak  chizamiz.  Bu to‘g ‘ri  to‘trburchaklaming yuzalari
255

---

f(Zk)(xirXk-i) =f(Zk)Axk, k=\,2,...,n
 
bo‘ ladi.  T o‘g ‘ ri  to‘rtburchaklar yuzlarining yigMndisi  esa
*=i
orqali  belgilaymiz.  Agar 
Л -
 max 
Лхк
 deb belgilasak  va X -*0  boMsa,  (bu holda 
[a;b]
isfcs«
ni mayda boMaklarga boMishlar soni 
n
 cheksiz o'sadi) 
Sn
 ifoda egri chiziqli trapetsiya 
yuzigatoborayaqinlashaboradi.  Shuning uchun egri chiziqli trapetsiyaningyuzi deb
k=l
ni  qabul qilish  tabiiydir.
1 .2 .0 ‘zgaruvchan kuch bajargan ish haqidagi  masala. 
Faraz qilaylik, jism  
Ox
  o ‘ q  bo‘ylab 
Ox
  o‘ qdagi  proeksiyasi 
x
  ning  funksiyasi  bo'lgan 
F=f(x)
  kuch 
ta’sirida harakat qilayotgan boMsin.  Jism  shu kuch ta’sirida 
a
 nuqtadan 
b
 nuqtagacha 
harakatlanganda bajarilgan  ishni  topish  talab qilinsin.
Buning uchun 
[a;b]
  ni 
n
 ta boMakka boMamiz:
a=x
0

2
< ...< x n-i
  [**./,**]  boMakdan  ixtiyoriy 
gk
  nuqtani  tanlab 
olamiz va shu boMakda jism ga ta'sir etuvchi 
V\\chri\ f(£k)
 ga,  uning bajargan  ishini 
M 0 ( * k  ~Xk-
1
)  =№ к)Д хк 
ga  teng  deb  qaraymiz.  U  holda 
F=f(x)
  kuchning 
[a;b]
  da  bajargan  ishi  taqriban
n 
n
£  
f ( g k
)Ax;.  ga teng boMadi  Ravshanki, 
A =
 max 
Axk
  nolga intilsa,  ^  
f ( g t )Axk
 
*=i 
K  Sh 
t=i
bajarilgan  ishni  aniqroq ifodalaydi  va uni Л = П т У  
f(£,)Axt
  deb olish mumkin.
K=l
Shunday  qilib, yuqoridagi  ikki  masalani  yechish  ushbu
t=l
koMinishdagi yigMndining limjtini hisoblash m asalasiga olib keldi,  Shunga o ‘xshash 
ko‘pchilik  geometrik,  mexanik  va  h.k.  masalalar  shunday  yigMndilarning  limitini 
izlashga keltiriladi.
256

---

Aytaylik, 
f(x)
  funksiya 
[a;b]
  da aniqlangan  bo‘ lsin. 
[a;b]
  kesmani 
a=x0< x/< x
2
<  ...
 
nuqtalar bilan 
n
  ta bo‘ lakka bo‘ lamiz. 
[a;b]
  ni  bo‘ luvchi  bu  sonlar to‘plamini 
[a;b]
 
ning 
bo ‘linishi
  deb  ataymiz va 
t„
 bilan belgilaymiz:
тп={дго, 
xi, 
x„\ a=x0<  xt< x2<  ...
Har  bir  elementar 
(
k = l,2
.....
n)
  kesmada  bittadan  ixtiyoriy 
£k
  nuqta
tanlab,  shu  nuqtalarda  funksiyaning 
)  qiymatlarini  hisoblaylik  va  quyidagi 
y ig ‘ indini tuzayhk:
( *)
t=i
bu yerda Ах*=х*-х
*_\
  [x*-/,**]  (
k=J,2
.....
ri)
 kesmaning uzunligi.
Ushbu (1) yig‘ indi 
f(x)
  funksiyaning 
[a;b]
 dagi 
integralyig  indisi
 deb ataladi. 
[a:b]
  ning boMinishlari  r„ va har bir  [ х ы л ]   kesmadan 
%k
  nuqtalami  tanlash 
usullari  cheksiz ko'p bo‘ lganligi  sababli 
f(x)
 ning 
[a;b)
  dagi (1)  integral yig‘indilari 
to‘plami  cheksiz to‘plam boMadi.  X =m ax Ax* belgilash kiritamiz.
lSltSn
10.1-ta’ r if   Agar 
X
  nolga intilganda
f(x)
 ning 
[a;b]
  dagi  (1)  integral yig‘ indisi 
chekli 
I
 limitga  ega  bo‘ lib,  bu  limit 
[a;b]
  ning 
r„
  bo‘ linishlariga  va 
%k
  nuqtalarini 
tanlash  usuliga  bog‘ liq  boMmasa,  o ‘ sha 
I
  limit 
f(x)
  ning 
[a;b]
  dagi 
aniq  integrali
 
deyiladi  va u
\f(x )d x
a
orqali belgilanadi:
ь
lim £  / ( &  
)bxk= \ f ( x ) d x
Ar=l 
a
Bunday holda
f(x)
  funksiya 
[a:b]
  da integrallanuvchi  (yoki  Riman m a’nosida 
integrallanuvchi) deyiladi.
2-§.  Integral yig‘ indi, aniq  integralning ta’ rifi
257

---

Bu  yerda ham  aniqmas  integraldagi  kabi 
f(x)dx  integral ostidagi  ifoda, ffx)-
 
integral ostidagi funksiya, x - integrallash о  zgaruvchisi
 deb ataladi, 
a v a b
  esa mos 
ravishda 
integrallashning quyi  va yuqori chegaralari
  deyiladi.
belgilanishiga  o ‘xshash.  Bu  tasodifiy  emas.  Aniq  integralni  hisoblash  shu  integral 
ostidagi  funksiyaning  aniqmas  integralini  hisoblashga  keltiriladi,  ularmng 
belgilashlarimng 
o ‘xshashligi 
integrallash 
formulalarini 
eslab 
qolishni 
osonlashtiradi.  Ammo  aniq  integral  bilan  aniqmas  integral  orasida  muhim  farq 
mavjud: 
ffx)
  funksiyaning 
[a;b]
  kesmadagi  aniq  integrali  biror  sondan  iborat,  shu 
funksiyaning  aniqmas  integrali  esa  uning  barcha  boshlangMch  funksiyalarini 
ifodalaydi.  Shu sababli  bular turli  tushunchalardir.
Aniq integral tushunchasiga olib kelgan birinchi  masaladan  aniq in tegratin g 
geometrik  m a’nosiga  kelib  chiqadi:  geometrik  nuqtai  nazardan  nomanfiy 
funksiyaning  aniq  integrali  son  jihatdan  shu  funksiyaga  mos  egri  chiziqli 
trapetsiyaning yuziga teng b o iadi.
10.2-teorema.  Agar 
ffx)
  funksiya 
[a; b]
  da integrali an uvchi  boMsa,  u holda bu 
funksiya 
[a;b]
  da chegaralangan boMadi.
Isbot.  0  Teskarisini  faraz  qilaylik.  U  holda 
ffx)
  funksiya  [
a;b
]  kesmaning  r„ 
boMinishiga  mos 
(
k= \,
2
,...,n
)  kesmalaming  hech  boMmaganda  birida
chegaralanmagan  boMadi.  Masalan,  funksiya 
[xj.i,xj\
  da  chegaralanmagan  boMsin. 
Integral yigMndini  quyidagicha yozish  mumkin:
ь
Aniq  integrating 
belgilanishi  shu  funksiyaning aniqmas  integrali
a
3-§.  Aniq  integral  m avjud  boMishining zaruriy  sharti
S(TH)= A + ff^ )A x j,
bunda
258

---

1Д£  )Адгу|  >И |+  —  tengsizlik  o'rinli bo‘ladi.  U holda 
Л
\S(
t
J \  =\A+f(Zl)AxJ\
  к 
№ ,)Д *,\-\А \
  > И 1+ 
J   M \ - j
Demak, 
Л->
  0  da 
S (rJ-teo
  bo'ladi  va  bundan  integral  yig'indining  chekli 
limiti  mavjud  emasligi  kelib  chiqadi.  Bu  esa 
f(x)
  ning  integrallanuvchi  ekanligi ga 
zid boiadi.  Bu qarama - qarshilik teoremani  isbot qiladi.  ♦
Shuni 
ham 
aytish 
kerakki, 
ba’zi 
bir 
chegaralangan 
funksiyalar 
integrallanuvchi  bo'lm asligi  ham  mumkin,  y a’ni  funksiyaning  chegaralanganligi 
uning  integrallanuvchi  bo'lishi  uchun  faqat  zaruriy  shart  bo'lib,  yetarli  shart  bo'la 
olmaydi.  Masalan,
(  0,  agar 
x
  irratsional 
bo' Isa,
|l ,  agar 
x
  ratsional 
bo'lsa
funksiya (Dirixle funksiyasi)  [-1; 1 ]  da chegaralangan.  Shu funksiyaning kesmadagi
integral  yig'indilarini  olaylik.  Agar  har  bir  [jc*./,  jc*]  kesmada 
%k
  lar  uchun  faqat
ratsional  nuqtalar tanlab olinsa,
S C O  =  £ / ( £ * ) •  Ax* =  X  1- Ax, =  2
*-=1 
ih=l
bo'ladi.
Agar har  bir 
[xk-i,
  x*]  kesmada 
lar  uchun  faqat  irratsional  nuqtalar  tanlab 
olinsa,
S (
t
J
 = £  / ( & ) •   A x ,  = £  0-  A x ,  = 0  •
t=i 
*=i
Demak, 
S(rn)
  integral  yig'indining  limiti 
nuqtalami  tanlab  olish  usuliga 
bog'liqdir.  Bu esa Dirixle funksiyasining integrallanuvchi  emasligini  ko'rsatadi.
[
x j
. , , X
j
]
  d a
f( x
)
  c h e g a r a l a n m a g a n l i g i d a n   s h u n d a y   £   e  
[ x j . i , x j ]
  n u q t a   m a v j u d k i ,
259

---

ffx)
  funksiya 
[a;b]
 da aniqlangan va chegaralangan boMsin. 
[a;b]
 ning biror 
xn
 
boiinishini  olib,  quyidagi  belgilashlami  kiritamiz:
mk= 
in f  f(x), 
Mk
  =  
sup  f(x)
 
(1)
xlr_i C x ix k 
xt _tS x ^ x t
S(TrJ = Y   mkAxk,  s   (rn)=   Y   MkAxk
 
(2)
*=1 
*=1
Bunda (2) yig‘ indilar mos ravishda 
Darbuning quyi va yuqori yig  indilari
 deb 
ataladi.  Funksiyaning chegaralanganligidan 
mk
 v a
Mk
 ning mos kesmada mavjudligi 
ravshandir.  Umuman  aytganda,  (2)  y ig‘ indilar  integral  y ig ‘indi  bo‘ lmaydi,  chunki 
mk
 va 
M k
 funksiyaning  qiymatlari  boMmasligi  mumkin  (agar 
ffx)
  uzluksiz funksiya 
bo"Isa,  (2) yigMndilar
ffx)
  funksiyaning integral yigMndilari bo‘ ladi).
Darbu yigMndilarining uchta asosiy xossasi  mavjud.
10.4-xossa.  Har qanday  r„  boMinish  uchun
S(TrJ< S(Tr) < S   fjn)
 
tengsizliklar o ‘ rinli  boMadi.
Isbot. 0  Ixtiyoriy 
g ke
 
uchun 
mk 
—= S  
mkAxk  <
  £ / ( & ) A * *  
<  J^ M tAxk = S  .
*=l 
*=1 
k=\
Shuni  ta’ kidlash  lozimki,  berilgan  r„  boMinish  uchun  Darbuning  quyi  va 
yuqori yigMndilari yagona boMadi,  lekin integral yigMndi, har bir qism kesmadan 
£ k
 
nuqtalami tanlash  evaziga cheksiz ko‘p boMadi.  ♦
10.5-xossa. 
[a;b]
  ning  boMinish  nuqtalari  sonini  oshirish  natijasida  quyi 
yigMndilar kamaymaydi,  yuqori yigMndilar esa o ‘ smaydi.
Isbot.  0 
[a;b]
  ning 
rn
 boMinishi  uchun quyi yigMndi 
S,
  boMsin.  Endi  boMinish 
nuqtalami ortiramiz.  Masalan, [x*./,xa] ni 
x
  nuqta yordamida ikkiga boMamiz.  Hosil 
boMadigan yangi  quyi yigMndini £? deb belgilaymiz.
*-1 
n
S j= Y amM i   + ^ Л х к+
  £  
mjAxj ,
M 
j=k
+1
4-§. Darbu yigMndilari va ularning xossalari
260

---

+мк'(х  
-х
к
.,)+тк
 "(х
/г
 
х  ) +   I
  m Д х ,,
/=1 
> t + l
bunda 
nik
  -  ^ inf 
/w*" -   inf
J(x).
M a’ lumki,  to‘plamning  aniq  quyi  chegarasi  qism  to'plamining  aniq  quyi 
chegarasidan  katta emas.  Buni  e’tiborga olsak, 
mk ’> m k,  mk ” > mk
 va
mk'(x   -xk.,) +mk "(xr x  )  > mk( x   -xk.,) +mk(xk- x  )  mk(xk-xk.t)  =mkAxk
 
munosabat o'rinli.
Demak, 
S
2
 > Si
  boMadi.  ♦
Yuqori yig'indiga bog'liq boMgan hoi shunga o'xshash  isbotlanadi.
10.6-xossa.  [a;b]
  ning  har  qanday  boMinishidagi  quyi  yigMndi  har  qanday 
boshqa boMinishdagi yuqori  yigMndidan  katta emas.
Isbot. 
0 
boMinishdagi  yigMndilar 
Si
  va 
Si
  boMsin, 
r ih
  boMinishdagi
yigMndilami 
Sj
  va 
S', 
deb  belgilaylik.  Endi, 
va 
Tnг
  lardagi  boMinish nuqtalami
birgalikda olib, yangi  r„  boMinishni  va unga mos 
S
3
 va 
S
3
  lami  hosil qilamiz.
(II) ga ko'ra
Si  <  S
3
 va 
S
2
  > S . ,
(I) ga ko‘ ra 
S
3
  < S 3 .
  Shuning uchun
Si 
<  S
3
 
< S} < S
2
  yoki 
Si  <, S2 .
Demak,  quyi  yigMndilar  to'plami  yuqoridan,  yuqori  yig'indilar  to'plami  esa 
quyidan  chegaralangan bo'ladi.  ♦