T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

(e  xc o s-d x  =
 
J 
2
и
 =  
e~
d u
 =  
—e 
Xd x
X  
С 
X 
X
d\>
 =  c o s—с/х,  v -  2  co s—
d
(—) =  2sin- 
2 
J 
? 
?
+ 2 ^ e ~ x s 'm —d x  =
и
 =  
e
2
 
2 
du
 =  
—e~*dx
=  2fT*sin —+ 
2
X  
X
d v  =  $ i n — d x ,
  v =  —2 co s— 
2 
2
= 
2
e  x
 sin — -  
4e~x
 cos — -  
2
 
2
С 
x 
x 
С 
X
 
V 
X 
г 
X
-4 
U "* cos—dr,  y a’ni 
e~xcos—
dx=2e~x s\n '--4 e ~ x cos—
  - 
4 
I e_;rcos
—dx
 
3
 
2
 
1
 
2
 
2
 
2 
J 
2 
’
f 
- 
x 
X 
X
bundan  5 
e
' 1
 cos-dx=2e~*sin
—
4e~*
c o s -   voki 
J 
2 
2 
2
f 
e x
 
cos^-dx=-(e~x
 
sin 
-  -  
2
e~z
 
cos 
- )
.
J 
2 
5 
2 
2
Mashq va masalalar
Bevosita integrallash  usulidan  foydalanib integrallang (1-6):
9’ 1- 
9-2
9-3.  /  V x (x 2  +   1 
)dx.
9-5.  /  
^ - ~ - d x .
J 
sfx
Integrallami hisoblang’ (7-14):
n  
.  г
  З+л/4— 
X 2  ,
9-4,  I 
—
7
=
r dx.
J
 
х/4-д:2
9-6.  /  ( 4  s in x   +   8 x 3 ---- Ц - )  dx.
V 
cosl x J
234

---

9-7.  /  sin 2  3
x d x .
 
9-8.  /  
co s2Qx dx.
9-9.  /  
t g
2
xdx.
 
9-10. 
f ^ j - d x .
9-11.  / ( 3
tg x
  -  
2 c tg x )
2
dx.
 
9-12./ 
d x .
9-13  / .c o s z x d *  
9-14.
J   S lT lz X  C O S * X  
J
  c o s x
0 ‘zgaruvchini  almashtinsh  usulidan foydalanib integrallang (15-22):
9-15./ 
y[4x~^~5 dx
 
9-16./ 7—— r r .
J 
J  ( 3 x + 2 )«
9-17.  /  
sin zxcos
  x dx. 
9-18.  /  
■ x 2dx.
9 _ 1 9 
9_2 0  
rfm xdx
X  
•*
  C O S  
x + l
'
9-21 
9-22.  г г ^ £ .
J  x 3+ l  
J 
x z + i
Bo'laklab  integrallash usulidan foydalanib  integrallang (23-28):
9-23.  /  л: sin 
x d x .
 
9-24.  /  (2 x   —  1)  •  e3*  
dx.
9 25  j  in±dx 
g 26  j  x 12Xdx
9-27. /  In2 
x dx.
 
9-28.  /  
x a rc tg x  dx.
 
Integrallami hisoblang (9-34):
9-29. /  - ^ = — 
dx.
 
9-30.  /  
arctgyfxdx.
9-31  /  — . 
9-32.  /
•"sinx 
■* 
x'\3^~
I n x ’
„arctfljc.oy 
3x+5sin(-V)
9-33  /  ------- - ^ d x .  
9 - 3 4 ./ ------ - ^ d x .
1 + x  
J 
e x
9-34  9.11-xossani  matematik  induksiya  metodidan  foydalanib,  chekli 
sondagi  integrallanuvchi funksiyalar uchun  isbotlang.
9-35.  Darbu  teoremasini  isbotlang:  Agar 
f ( x )
  funksiya biror oraliqda 
f '( x )
 
hosilaga ega bo‘ lib,  shu oraliqqa tegishli  bo‘ lgan 
x  =   a ,x   =   b
  nuqtalarda  / ' ( a )  =  
А  Ф  В  =  f ' ( b
)  boMsa,  u holda  bu oraliqda / ' ( x )  funksiya 
A
  va 
В
  sonlar orasidagi 
barcha qiymatlami  qabul  qiladi,  ya  ni 
A v& B
 sonlar orasidan olingan har qanday 
С
 
soni  uchun  (
a.b
)  intervalga tegishli  boMgan  kamida bitta 
с
 nuqta topilib, 
f ' ( c
)  =  
С
 
boMadi.
235

---

9-36.  Darbu  teoremasidan  foydalanib, 
f ( x
)  =   ( 
a ^ a r   ^ 
X  <
J 
’
  v 
(2 ,  a,gar  1  <  x  <   2
funksiyaning  [0;2]  da boshlang‘ ich funksiyaga ega emasligini  isbotlang.
9-37.  Aytaylik, 
F(x)
  funksiya 
f ( x
)  funksiyaning  boshlangMch  funksiyasi 
boMsin.  Quyidagi  tasdiqlami  isbotlang  yoki  rad  eting:  a)  agar 
f ( x
)  toq  funksiya 
boMsa,  u holda F (x ) -  toq funksiya;  b) agar 
f ( x )
 juft funksiya boMsa,  u holda 
F(x)
-   juft  funksiya;  c)  a)  agar 
f ( x
)  davriy  funksiya  bo‘ lsa,  u  holda 
F(x)
  -   davriy 
funksiya.
9-38.  Uzilishga ega,  lekin  sonlar o ‘ qida uzluksiz boshlang‘ich  funksiyasi 
mavjud boMgan funksiyaga misol  keltiring.
9-39.  Quyidagi  funksiyalaming boshlangMch funksiyalarini  toping:  a) 
x\x\,
 
x
  6 
R)
  b)  |1  -  
x\  +
  |1  +  
x\,  x
  6 
R;
  c) 
(2x -   3)\x - 2 \ ,   x
  6 
R;
  d) 
m a x ( l,x 2) , x   6 
R.
5-§.  Ratsional funksiyalarni integrallash
5.1. 
Sodda ratsional  kasrlar va ularni  integrallash. 
Sodda ratsional  kasrlar 
deb  nomlanadigan  kasrlar  asosan  to‘ rt  xil  boMadi.  Ratsional  funksiyalami 
integrallash  shu  to‘rt  xil  sodda  kasrlami  integrallashga  keltiriladi.  Shu  sababli  bu 
to‘rt xil kasmi integrallash masalasi alohida ahamiyat kasb etadi.  Ulaming ko‘ rinishi 
quyidagicha:
A 
A
__  
M x + N
 
уа 
M x + N
x - a
  (
x - a ) k  x
2
 + px + q 
(xl  + p x  + q^f  ’
bunda 
A,  M,  N,  a,  p
  va 
q
  lar  haqiqiy  sonlar, 
k>
 1 natural  son  va 
p
2
-4q<
0  deb 
hisoblanadi.
Endi yuqoridagi  kasrlami  integrallash  m asalasiga oMamiz.
A
a)  —-----  ni  integrallash  quyidagicha am alga oshiriladi:
f 
Adx 
r d ( x - a )
J-----
-A
 J ----------
=Aln
 jjc-x - a  
x - a
236

---

А
b  )  
-  ni  integrallaymiz (&>1).
( x - a )
^ 
l  А^ \ к  =A ^ (x-a) kd(x'a) =A
 
77—
---- y^r
( x - a )  
- &  + 
1
 
( l - f c ) ( x - a )
c) 
r  A/x 
+ ^ __cjx
 
nj  integrallash  (/r-4t/<0)  suratida  mahrajining 
J  x   +  /jx  +  
q
differensialini  ajratib  olish  va  mahrajini  kvadratlar  y ig ‘indisiga  keltirish  orqali 
jadvaldagi  integrallarga keltiriladi.
f 
M x + N
 
,  _
I —-----------
J  x   +  />x 4- 
q
d (x
2
 + p x + q ) = (
2
x + p)dx
\Mx + N = - (
2
x + p )  + N - ^ -
2 
2
M  
r d (x
2
 + px + q
)
_  
м   rci^x
"  T
j
- ^
= " 
ln (*! 
+ 
px
 
+ ,) + f Л
Г
 
-  
V=J
____
:arc,g 
-1LLL,
2 
I  
2 
j j q - p ' l
 4 
% / 4 ? - p !
2  J 
x  + p x + q
d (x  + p /
2
)
(x+  p /
2 ) 2
 + q - p 2/4
 
+ C.
d)  —
+  -У —   (Ar>l)  sodda  kasmi  integrallash  uchun 
x+p/
2
=z
  almashtirish
( x 2  +  p x  +  ^ ) /:
bajaramiz, bundan 
dx=dz,x
2
+px+q=(x+p/2)
2
+q-p
2
/4= z
2
+a2,
  bu yerda
a
2
=q-p
2
/4.
  U 
holda
f 
M x + N  
.
  . 
t 
zdz 
2N  - M p   r 
dz 
.  .. 
2 N - M p   r
J — ------------
Tdx = M
 J — -----—  + --------- - I - ---------
T = MI
0
 +
---------
(x' + p x + q )  
(z  + a
  ) 
2 
( z 2 + a 2) 
2
bo‘ ladi.  Ravshanki,  /   =   f
— — —T =
----------- ?-------- г т  + С-
° 
} ( z
2
 + a 2)k 
2
( \ - k ) ( z '  + a ' ) k-'
Demak,
dz
h=
 J----1—
j
 
integralni  hisoblash kifoya boMadi.
( z : +  < r)
237

---

h r
f 
dz
 
_   1 
[■ 
z"
  + a "  — 
z
2
  y  _  1 
j- 
dz
 
I f
fz 2 - ^
" * 2 ' 
k w
r  
: "
7
t
e
r
"
7
J
(z 2 + a : )* 
a ~
 
(z 2 + a : f
z
2
 dz
( z
2
  + a 2) k~] 
a
2
  J ( z
2
 + a 7) k
Bu
yerda  J ———  .  , 
-h-i
  ekanligini  e ’tiborga olsak,
( z - +  a - ) k-x
4=1-
c/z
1
( z 2 + a 2f  
* 4
(5)
boiadi.
Endi  I
z 2dz
( - 3  + Д 2)*  n* bo‘laklab integrallaymiz.
(z2+a2)k
dv
 =
du = dz
 
1
и =  
z
, 
zdz
l z
2
 + а
2
 У ’  V~
 7 (1 -  £ )(z2  + Д2)* 
z
1 
|- 
Jz
2(1 -  Ar)(z2 + я 2)*"1  2(1 -  * )  •' (z2 +  
a
2
)*-1 
2(1 -  * ) ( z 2 + a 2
)k~l
 
2(1 -
k)
 
So'ngi  topilgan  ifodani  (5) formulaga qo‘yamiz,  natijada
Л-,
2
k — Z
2 k - 2
 
2(1
 
- k y t f + a ' f -
(
6
)
(6)  rekurrent  formula  deb  ataladi. 
z  =  
P
 
Va
2
almashtirishlarga qaytib,  izlanayotgan  integralni  topamiz.
a = ^ E
-  _   f 
flfe 
1 
z 
Л  - J “ 5T  Г - - 1
arctg— + C
 
bilgan 
holda 
(6) 
formula 
yordamida