T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

Mashq va masalalar
f(x ) funksiya grafigining asimptotalarini toping (65-70):
8-65. /(x )  =  
. 
8-66  f ( x ) = x - e x.
8-67. у =  
■
 
8-68. у  =   e”
^ 
X+2 
^
8-69  / 0 )   = X
2
+S
X_ 6
 
8-70./(x)  = x -   arctgx.
Funksiyani to'liq tekshiring va grafigini chizing:
8-71. у  =   e ^ .  
8-72. у  =   /п( 1  -   л:2).
8-73, у  = 
. 
8-74. у  —  x 3 -  4x2  +  3x.
^ 
l- x 2 
J
8-75. у  =  x + 
8-76. у  =  х г • e~*.
8-77. у =  
8-78. у  =  
——%
■
J  
x-2 
J  
Sxz
8-79 у  =  
^ 7
 
8-80.  у  =   x -   fax.
8-81. у =  
sinx
 + 
sin2x.
 
8-82. у =  sin
2
 
x
 + 
cosx.
8-83. у =  
exZ~2x.
 
8-84. у  =  
x3
 In
2
 x.
222

---

UCHINCHI BO‘LIM. BIR 0 ‘ZGARUVCHILI FUNKSIYANING 
INTEGRAL HISOBI 
IX BOB. ANIQMAS INTEGRAL
l-§. BoshlangMch funksiya va aniqmas integral tushunchalari
Differensial hisobning asosiy masalalaridan biri berilgan Дх) funksiyaga ko‘ra 
uning  hosilasi  f  (x)  ni  topishdan  iborat  edi.  Bu  masalaning  teskarisi,  ya’ni 
hosilasiga ko‘ra funksiyaning o‘zini  tiklash  masalasi  katta ahamiyatga ega boMib, 
integral hisobning asosiy masalalaridan hisoblanadi.
f(x) funksiya biror (a,b) (chekli yoki cheksiz) intervalda aniqlangan boMsin.
9.1-ta’rif. 
Agar (a,b) daf(x) funksiya biror F(x) funksiyaning hosilasiga teng, 
ya’ni  [a,b)  intervaldan  olingan  ixtiyoriy  x  uchun F ^ x ^ / x )   bo'lsa,  u  holda F(x) 
funksiya (a,b) intervalda^x) funksiyaning boshlang'ich funksiyasi deyiladi. 
Masalan,
1)  f(x)=~f=  boMsin.  Bu  funksiyaning  (0;4i»)  intervalda  boshlangMch
V X
funksiyasi F(x)=2 Vx  boMadi, chunki (0;-Hx>) da F'(x) = (2y/x)’ = -]= = f ( x ) ;
\fx
з
2)f(x)=x2 ning 
(-oo;+ oo) 
oraliqda boshlangMch funksiyasi  F (x) = --r   boMishi 
ravshan.
Ravshanki, agar biror oraliqda F(x) funksiyaf(x) ning boshlangMch funksiyasi 
boMsa, u holda ixtiyoriy o‘zgarmas С  son uchun
F(x)+C 
(1)
funksiya 
ham 
f(x) 
ning 
boshlangMch 
funksiyasi 
boMadi, 
chunki 
(F(x)+C)’=F'(x)=f(x).
Bundan quyidagi xulosa kelib chiqadi:  agar f(x) funksiya biror boshlangMch 
funksiyaga ega boMsa, u holda uning boshlangMch funksiyalari cheksiz ko‘p boMadi. 
Quyidagi  savol  tugMlishi  tabiiy:  biror  oraliqda  berilgan f(x)  funksiyaning
barcha  boshlangMch  funksiyalari  (1)  formula  bilan  ifodalanadimi,  boshqacha
223

---

aytganda ffx)  funksiyaning  (1)  formula  bilan  ifodalanmaydigan  boshlang‘ich 
funksiyalari mavjudmi?
Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
9.2-teorema.  Agar  biror  oraliqda  F(x)  funksiya  f(x)  ning  boshlangMch 
funksiyasi  boMsa,  u  holda f(x)  funksiyaning  ixtiyoriy  boshlang‘ich  funksiyasi  С 
o‘zgarmasning biror qiymatida (1) formula yordamida ifodalanadi.
Isbot.  0  Aytaylik,  G(x)  funksiya  qaralayotgan  oraliqda ffx)  funksiyaning 
boshlangMch  funksiyasi  bo‘lsin.  Ushbu  (p(x)=G(x)-F(x)  yordamchi  funksiyani 
qaraymiz.  Bu  funksiya  uchun  
 =0  bo‘ladi,  ya’ni, 
qaralayotgan oraliqda 
 funksiya uchun funksiyaning doimiylik sharti bajariladi. 
Boshqacha  aytganda  G(x)-F(x)=C,  ya’ni  G(x)=F(x)+C  boMadi.  Demak,  G(x) 
funksiya (1) formuladan С  ning biror qiymatida hosil boMadi. ♦
Shunday qilib, agar oraliqda berilgan/fx) funksiyaning bitta Ffx) boshlangMch 
funksiyasi ma’lum boMsa,  u holda uning barcha boshlangMch funksiyalari F(x)+C, 
bu yerda С ixtiyoriy o‘zgarmas son, ko‘nnishda ifodalanar ekan.
9.3-ta’rif. (a,b) intervalda berilgan ffx) funksiya boshlangMch funksiyalaming 
umumiy ifodasi F(x)+C, bu yerda C= const, shu ffx) funksiyaning aniqmas integrali
deb ataladi  va u  jf(x )d x   kabi belgilanadi.  Bunda  \
  - integral belgisi, ffx) integral
ostidagi funksiya, ffx)dx - integral ostidagi ifoda, x - integrallash о zgaruvchisi deb 
ataladi.
Demak, ta’rifga ko‘ra
jf(x)dx=F(x)+C, 
(2)
bu yerda Ffx) funksiya ffx) ning biror boshlangMch funksiyasi.
Masalan, 
(- q o ;+ q o ) 
da ffx) =cosx boMsin. Bu holda (sinx)'=cosx boMgani uchun 
J 
c o s j
tdx=sinx+C boMadi.
(2) 
formuladan  ko‘rinadiki,  berilgan ffx)  funksiyaning  biror  boshlangMch 
funksiyasini  va  uning  an iqmas  integral ini  topish  masalalari  deyarli  bir  xil 
masalalardir.  Shu sa b a bli/^ funksiyaning boshlangMch funksiyasini topishni ham,
224

---

aniqmas  integralini  topishni  ham  f(x)  funksiyani  integrallash  deb  ataymiz. 
Integrallash differensiallashga nisbatan teskari amaldir.
Integrallash  amalining  to'g'ri  bajarilganligini  tekshirish  uchun  olingan 
natijani differensiallash yetarli: differensiallash natijasida integral ostidagi funksiya 
hosil bo'lishi lozim.
Masalan, 
| з  
x1dx = x>+C
ekanligini 
tekshirish 
uchun 
tenglikning 
o'ng 
tomonidagi 
funksiyadan 
hosila 
olamiz:
(
a
^+ Q ’=3
x
2,  demak,  integrallash 
to'g'ri bajarilgan.
Geometrik nuqtai nazardan bu 
teorema f(x)  funksiyaning  aniqmas 
integrali y=F(x) +C bir parametrli 
egri  chiziqlar oilasini  ifodalaydi  (C-parametr).  Bu  egri  chiziqlar  oilasi  quyidagi 
xossaga  ega:  egri  chiziqlarga  abssissasi  x=x0  bo'lgan  nuqtasida  o'tkazilgan 
urinmalar bir-biriga parallel bo'ladi (58-rasm).
F(x)+C egri chiziqlar oilasi integral egri chiziqlar deb ataladi. Ular bir-birlari 
bilan kesishmaydi, biri-biriga urinmaydi. Tekislikning har bir nuqtasidan faqat bitta 
integral chiziq o'tadi.  Barcha integral chiziqlar biri ikkinchisidan Oy o'qiga parallel 
ko'chirish natijasida hosil bo'ladi.
9.4-misol. Abssissasi x bo'lgan nuqtasida o'tkazilgan urinmasining burchak 
koeffitsienti  k^x3  formula  bilan  ifodalanadigan  va  (2;5)  nuqtadan  o'tuvchi  egri 
chiziqni toping.
Yechish.  Ma’lumki,  y'=k=xs,  bu  shartni  qanoatlantiruvchi  у  funksiyaning
jr4
umumiy ifodasi  у - [дЛйс  bo'ladi.  Bu integralni hisoblab  y = —  + C  ifodaga ega 
J 
4
bo'lamiz.  Izlanayotgan  egri  chiziq  (2;5)  nuqtadan  o'tadi.  Shu  sababli  funksiya
ifodasiga  berilgan  nuqta  koordinatalarini  qo'yamiz  va  С   ning  kerakli  qiymatini
225

---

topamiz.  Natijada  5 = —  +С,  C = 1   hosil bo'ladi.  Demak, izlanayotgan egri chiziq
x"1
tenglamasi  у = —  +1  ekan.
4
Endi quyidagi savolga javob izlaymiz: biror oraliqda berilgan har qanday f(x) 
funksiyaning boshlangMch funksiyasi mayjudmi?
Har qanday funksiyaning ham boshlang'ich funksiyasi mavjud bo'lavermaydi 
(36-masala), lekin quyidagi teorema o'rinli.
9.5-teorema  Agar f(x) funksiya biror oraliqda uzluksiz bo'lsa, u holda uning 
boshlang'ich funksiyasi mavjud bo'ladi.
Bu teoremaning isboti  kelgusida ko'rsatiladi,  shu sababli  bu bobda uzluksiz 
funksiyalami integrallash haqida gapiriladi. Uzilishga ega bo'lgan funksiyalar uchun 
integrallash masalasi uning u yoki bu uzluksizlik oraliqlari uchun qaraladi.
Masalan,  f{x )  = ^  funksiya  x  = 0  nuqtada  uzilishga  ega.  Bu  funksiya 
(0; +oo)  va  (—oo;0)  oraliqlarda  uzluksiz.  Birinchi  oraliqda  j^ d x  = ln x + C  
formula o'rinli.  Ammo ikkinchi oraliq uchun bu formula ma’noga ega emas.  Lekin 
bu oraliqda quyidagi formula o'rinli bo'lisini tekshirib ko'rish qiyin emas: /  ^dx  = 
ln(-x) + С
Bu  ikki  formulani  quyidagicha  umumlashtirib  yozish  mumkin:  / -dx  = 
ln|x| + C.
2-§. Aniqmas integrating sodda xossalari
9.6-xossa  Aniqmas  integrating  differensiali  (hosilasi)  integral  ostidagi 
ifodaga (funksiyaga) teng:
d\f(X)dx=f(x)dx
 (
( J / ( x ) r f x ) ’ 
=f(x)).
Isbot. 0 Ta’rifga  ko'ra
d J f(x )d x   = d{F(x) + C) =  dF (x)  =  F '(x)dx  =  f(x )d x . ♦
226

---

9.7-xossa.
  Biror  funksiya  differensialining  aniqmas  integrali  shu  funksiya 
bilan o'zgarmas son yig'indisiga teng:  /  dF (x )  = F(x) + C.