T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

\x ad x -
------+ 
C, 
a * - l ;
  2. 
-= 1 п Ы  + С,  д г*0 -
J 
rf
 -u 1 
I
I
’
»
3. 
j a xdx — -
-----f C ,  
a >
 0,  a r ^ l ; 
j e xdx = ex
 +  
С
 ;
8.  Jcosxd£c= sin r  +  C ,  
9. 
JsinAiC& 
=  —COS-X+C; 
10. 
\chxdx = shx+C-,
 
11
. 
jshxdx = c h x + C
 ;
229

---

4.1.  Bevosita integrallash  usuli. 
Bu usul  integral  ostidagi  ifodani jadvaldagi 
biror  integral  ostidagi  ifoda  ko‘ rinishiga  keltirish  va  aniqmas  integral  xossalaridan 
foydalanishga asoslangan.
9.15-misol. 
Quyidagi  integrallami  toping:  a)  /  
2
2x
  • 3
Xd x ;
  b) 
f  t g
2
x d x ;
  c)
/ ( s i n | - c o s 0  
dx ;
  d) /  
cos
2
xdx.
Yechish.  a)  [2
2
x-3r<& =  f(2
2
-3 )xdx =   [l2 xdx = —
+ C ;
J 
J 
J
 
In 12
b)  f 
tg 2xdx
 =  f  S^n-; X 
dx =
 f -— C-),S 
x dx =
 [ 
— \ —dx
 -   f 
dx =tgx - x  + C',
J 
J
  cos" 
X  
J
  cos 
X  
J
  cos 
X  
J
c)  j ^ s in ^ -  cos-^ j  dx = J^sin
2
 
2
sin ^ co s^  + cos
2
 
=
=  J (1 — sin 
х
)
й
£
х
 =x +  cos x +  C;
d) 
jc o s
2
xdx=^cos
2
x ~ d (
2
x ) = ^ c o s (
2
x)d(
2
x) = - s i n
2
x + C y
 
bunda 
integrallash  formulasining invariantligi xossasidan foydalanildi.
4.2.  0 ‘zgaruvchini  almashtirish  usuli. 
Ushbu 
\f(x)dx 
integralni  hisoblash 
talab  qilinsin.  Integralda  o ‘zgaruvchini  almashtirish  usulining  mohiyati  shundan 
iboratki,  unda  integrallash  o ‘zgaruvchisi  x  ni  biror 
x=(p(t) 
formula  yordamida 
t
 
o ‘zgaruvchi  bilan almashtiriladi.  Bunda 

 
uzluksiz va 
x=(p(t) 
ga nisbatan teskari 
funksiya 
t=
 
mavjud deb faraz qilinadi.  Endi
x=

ifodalami 
\f(x)dx 
ga qo'yamiz.
\f(x)dx=]f(
 
(3)
Bu yerda 
(p(t) 
ni  shunday  tanlash  kerakki,  o ‘ng tomondagi  integral  soddaroq 
boMsin.  Agar
f((p(t))g> (t) 
funksiyaning boshlangMch funksiyalaridan biri 
F(t) 
boMsa,
\f(x )d x -\f(f(t))v (t)dt=F
 
kelib chiqadi.
4-§.  Integrallash usullari
230

---

(3)  formula  aniqmas  integral da 
о ‘zgaruvchini  almashtirish  formulasi
  deb 
ataladi.
B a’zi  hollarda  yangi  o'zgaruvchini 
t=(p(x)
  formula  orqali  kiritish  foydadan 
holi  emas.
9.16-misol.
  \ ~ j = =  
ni hisoblang.
4 e x-\
Yechish. 
eM  
=f-
  almashtirish  kiritamiz.  U  holda 
x ^ ln ^ + l) , 
dx=
- 
^ —d t
  va 
f 
cix
 
=  
f
-7—  = 2
arctgt + С
 =  2
arctg^ ex -
1 +  
С
  boMadi. 
t
2
 
+ 1  
*  + 1
9.17-misol.
  J s i n 3 
xco&xdx
 
ni  hisoblang.
Yechish.  t=sinx,  dt=cosxdx
 almashtirishni  kiritamiz. 
Bu 
holda 
/4 
1
[sin 3
x-
 c o sj
cdx-  \ t ?d t
 =  — 
+ 
C
 =  — sin4 
x + C
  boiadi.
J 
J 
4 
4
0 ‘zgaruvchini 
almashtirish 
usulidan 
foydalanib 
aniqmas  mtegralni 
hisoblashda  almashtirishni  qo‘ lay  tanlab  olish  muhim  hisoblanadi.  Ixtiyoriy 
integralni  hisoblashda  o ‘ zgaruvchini  almashtirishning  umumiy  qoidasi  y o‘q. 
Bunday  qoidalami  ba’zi  funksiyalar  (trigonometrik,  irratsional  va  boshq.)  sinflari 
uchun  keltirish mumkin.
K o ‘p  hollarda  integrallami  hisoblashda  integral  ostidagi  funksiyani 
differensial belgisi ostiga “ kiritish”  usulidan foydalanadi.  Funksiya differensialining 
ta’ rifiga  ko'ra 


  Bu  tenglikning  chap  tomonidan  o'ng  tomoniga 
o ‘ tish  (hosil  qilish) 


  ko‘paytuvchini  differensial  belgisi  ostiga  “ kiritish”  deb 
aytiladi.
Aytaylik,  ushbu  J/(
 
\x )d x
  ko‘ rinishdagi  integralni  hisoblash  talab
qilinsin.  Bu  integralda 


 
ko‘paytuvchini  differensial  belgisi  ostiga kiritamiz va 
so'ngra 
(p(x) =u
 
almashtirish bajaramiz. 
U 
holda quyidagiga eg ab o ia m iz: 
j  
f(

f 
f(

9.18-misol.
 
1=
  JV l + 
x'xdx
  integralni  hisoblang.
231

---

Yechish.  xdx=—ci(\ +
 j r )   ekanligidan foydalanamiz,  u holda
4
/=^|(1+
х
2)Х 1 + 12)^1+
х
2=
и
|=1Г«5
д
= ~ +
с
=^г
+
с
2
3
 
2
J 
2
  4 
g v
3
boMadi.
9.19-misol. 
/=  [ -  sm 
xc,x
 ,,,  integralni  hisoblang.
V4 +  3cosx
Yechish. 
sinxc& =  — jt / ( 4 + 3 c o s x )  
ekanligini 
ko‘ rish 
qiyin 
emas.
4+З аш г=и  deb belgilaymiz.  Natijada
/=
1  г 
—
 ^ 
| 
i 
o  JL
- - [ ( 4  + 3 cosx)  2d'(4+ 3co sx) =  — Гм 
2du =
----
u2 + C  =
 — >/4 + 3 c o s
x + C
3 J
 
3 J 
3 
3
hosil  boMadi.
Agar  integral  ostidagi  funksiya 


  ko'rinishda  boMsa,  u  holda 


 
ko‘paytuvchini  differensial  belgisi  ostiga  kiritish  orqali  uni  jadvaldagi  integralga 
keltirish  mumkin:
J  

) 
J  ip(x)
Masalan,
/ ^
=
| ^
 =  - | ^ ) = ) »  =  с о з ф - Г ^  =  - 1 п | „ | + С = - 1 п | с 05, | + С .
J 
3
  co sx  
3
  co sx 
3
  и
4.3. 
BoMaklab  integrallash  usuli. 
Bu  usul  ikki  funksiya  ko‘paytmasining 
differensiali  formulasidan  kelib  chiqadi.  MaMumki,  agar 
u(x)
  va 
v(x)
  funksiyalar 
differensiallanuvchi  funksiyalar  boMsa,  u  holda 
d(uv)=udv+vdu
  yoki 
udv=d(uv)-
 
vdu
 boMadi.  Bu tenglikni  ikkala tomonini  integrallasak,
\udv=\d(uv)-  \vdu
, yoki
I 
udv=uv -
 
J 
vdu
  (4)
232

---

formula  hosil  boMadi.  Bu  formula  boMaklab  integrallash  formulasi  deyiladi.  Bu
formula  yordamida  f
udv
  ni  hisoblash  boshqa, 
\vdu
  integralni,  hisoblashga
keltiriladi.  Bu formuladan  f 
udv
 ga msbatan  J 
vdu
 integralni hisoblash oson boMganda 
foydalamladi.
9.20-misol 
\xcosxdx
 ni  hisoblang.
Yechish. 
u=x
, 
du= x,  v=sinx,  dv=cosxdx
 belgilashlami  kiritamiz.  U holda 
jx-cosxdx
 = 
jiu h ’ = и ■
 v  — Jvdlu = x
•  sin 
x —
 Jsinxafcc =  x sin x  +  co sx  +  С  
boMadi.
9.21-misol. 
\lnxdx
 ni hisoblang.
Yechish
.  u=lnx,  du=
 — ,  v=x, 
dv=dx
 almashtirishni  kiritamiz.  U holda,
J i n
xdx = ^udv = x-
  Inx — J x   —  =  x- l n x - x  +  C   boMadi.
Endi  amaliyotda tez-tez uchrab turadigan va boMaklab integrallash usuli  bilan 
hisoblanadigan  integrallar tiplarini  keltiramiz.
1.  J
Pi{x)ekxdx,
  J.Pn(.x:)smAacc&;,  J / ;,( * )  cos foot*  ko^rinishdagi integrallar, bu
yerda 
P„(x)  -  n -
  darajali  ko'phad, 
к
 -   biror  son.  Bu  integrallami  hisoblash  uchun 
u=P„(x)
  deb olish va (4) formulani 
n
 marta qoMlash yetarli.
2-JP „(x )ln x iir,  Jp „ (x ) arcsin xafic,  J P  (x)arccosx*& ,  J  
Pti(x)arctgxdx,
J
Pil(x)arcctgxdx
  ko‘rinishdagi  integrallar,  bu  yerda 
P„(x)  -  n
  -   darajali
ko‘ phad.  Bu  integrallami  boMaklab  integrallash  uchun 
P„(x)
  oldidagi  ko‘payuvchi 
funksiyani 
и
 deb olish  lozim.
3.  J e ^ c o s
bxdx,
  J e ^ c o s
bxdx,
  bu  yerda 
a
  va 
b
  lar  haqiqiy  sonlar.  Bu 
integrallar ikki  marta boMaklab integrallash  usuli  bilan hisoblanadi.
9.22-misol.  Jarcsin xt/x  integralni  hisoblang.
Yechish. Bu integral 2-tipga kiradi,  bunda 
Pr/x)=\
  va 
u=arcsinx
 deb olamiz. 
U  holda
233

---

JaresinxY&r =
и
 = arcsin 
x,  du =
dv = dx.
d x
x
v = x
=
 x arcsin
in x -  J
xdx
■Jl-x
= xarcsinx + ^ J ( l - x 2)  2^ ( l - x 2) = x a rc sin x+ > /l-x2 
+ C
  bo'ladi. 
f 
x
9.23-misoI.  J 
e 
1
 cos
—dx
  integralni  hisoblang.
Yechish.  Bu  integral  3-tipga  mansub. 
и
  sifatida 
dx
  ning  oldidagi 
ko‘paytuvchilardan  ixtiyoriy  birini  olamiz  va  ikki  marta  b o ‘ laklab  integrallashni 
bajaramiz.  Ikkinchi  marta  integrallaganimizda  aw a l  berilgan  integralni  o‘z  ichida 
saqlaydigan tenglikka ega bo‘lamiz.  Bu tenglikdan berilgan  integralni  topamiz: