T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

b
0
xm+blxm-,+ ... + bm=
0 
(7)
tenglamani yechish kerak.  Algebraning asosiy teoremasiga ko'ra 
Qm(x)=0
 tenglama 
karrali lldizlanni hisobga olganda 
m
 ta ildizga ega bo‘ ladi.  Bu ildizlar haqiqiy (sodda 
yoki  karrali) va kompleks (sodda yoki  karrali) bo  lishi  mumkin.
M a’ lumki,  agar 
x = a
 qaralayotgan 
Qm(x)
  ko‘phadning sodda 
(к
 karrali)  ildizi 
boMsa,  u holda 
Qm(x)
  ko'phad 
x-a ( (x-a)k)
  ga qoldiqsiz bo'linadi  va 
Qm(x) =(x-a)Qm.,(x)  (Qm(x) =(x-a)kOm.k(x))
 
tenglik o'rinli  boMadi.
Agar 
z=u+iv
  kompleks  son 
Qm(x)
  ko‘phadning  sodda  ildizi  boMsa,  u  holda 
unga qo'shma boMgan 
z   =u-iv
 kompleks son ham 
Qm(x)
 ko‘phadning ildizi boMadi. 
Bu holda ko'phad 
(x-z)(x- z  )=x*+px+q
 ga qoldiqsiz bo'linadi,  bu yerda 
p= -(z+
 
Z )=-2u,  q = z z   =u
2
+v2l,  p
2
/4-q<0
  va  uni 
Qr/x) =(x
2
+px+q)Qm.
2
(x)
  ko'rinishda 
ifodalash  mumkin.  Shunga  o'xshash,  agar 
z
  kompleks  son 
s
  karrali  ildizi  boMsa,  u 
holda 
Qm(x)=(x
2
+px+q)sQm_
2
s(x)
 tenglik o'rinli  boMadi.
Faraz qilaylik, (7) tenglamaning barcha haqiqiy va kompleks ildizlari topilgan 
bo'lsin.  U  holda 
Qm(x)
  ko'phadni  chiziqli  va  kvadrat  uchhadli  ko'paytuvchilarga 
ajratish  mumkin:
Qm(x)=  b(l(x -a )k'(x-/3)k> ...(x -rf(x
2
+ plx + q]y'(x
2
 + p2x + q
2
y\..(x
2
 + 
prx+qrY
' , 
bu yerda
k\ +k2+... +k,+
2
s i+
2
s
2
+...
2
sr=m.
Algebra  kursida 
to'g'ri  ratsional  kasr  elementar  (sodda)  kasrlar
Q jx )
yig'indisi  shaklida yozilishi  ko'rsatiladi:
A W =_ i L + _ A _ +  , 
\
 
,  3  
] 
в2
 
| 
вк
Q M   x ~ a  
( x - a ) 2 
( x - a f 1  x - p
  (.
x - p f
 
(.
x - p f 1
 
A 
4  
4, 
M.x + N. 
M x + N
+  ——  +
-----i- T  +  ... + ----
^—r + ^ r -
1------ — + . . . + ------------- -— +  +
x - Y   ( x - r )  
(x- Г Г  
x2 + p]x + q l 
(x2 + p {x + q ^
 
U,x + V. 
U,.x+Vt
+   ——■------!—  +  ... +  —— i ----- i ----  
(g)
*‘ + Prx +qr 
(x2 + prx + qr)'f
 ’
240

---

bunda
Ai,  A
2
,
  ... 
B,
........
Bl:  ,  L,
......  
Lk
  , 
Mh 
N Si,  Ui,...,USf,
V/t...,Vs  -
 noma’lum  koeffitsientlar.
Yuqoridagi  formulani  koeffitsientlami  topmagan  holda bir  necha  misollarda 
koTsatamiz:
x 2+ 2 
_ 
x
2
 + 
2
 
A 
B x + C  
Dx + E
(x3 - l ) ( x 2 + l) 
( x - l) ( x 2 + x + l)(x 2 + 
l) 
x - \
 
x2 + x  + l 
x2 + l
2) 
3 x — 2 
A
 
| 
В
 
[ 
С  
| 
D
 
(x  +  4 ) ( x - 2 ) 3  x  +  4 
x —2 
(x —2)2 
( x - 2 ) ?
3)
x
2
 - 2 x  + 3 
А 
В 
С 
Dx + E 
Fx + G 
H
( x - l ) 3(x2 + 2)2(
x
+5) 
x
- 1  
(
x
- 1 ) 2 
(
x
- 1)3 
x 2 + 2 
(x: + 2)2 
x + 5 '
(B)  yoyilmadagi  koeffitsientlami  topish  uchun 
noma'lum  koeffitsientlar
 
metodi
 yoki 
xtisusiy qiymatlar metodidan
 foydalaniladi.
N om a’ lum  koeffitsientlar metodining  mohiyati  quyidagidan  iborat.  Aytaylik,
to‘g ‘ ri  ratsional  kasming  (8)  ko‘ rinishdagi  noma’ lum  koeffitsientli  sodda
Qm(x)
kasrlar  y ig cindisi  shaklidagi  yoyilmasi  berilgan  b o isin .  Sodda  kasrlami 
Om{x)
 
umumiy  mahrajga  keltiramiz  va  suratda  hosil  boMgan  ko‘phadni 
P„(x)
  ga 
tenglashtiramiz.
M a’ lumki, ikkita ko‘ phad aynan teng b o ‘lishi  uchun bu ko‘phadlardagi x ning 
bir  xil  darajalan  oldidagi  koeffitsientlaming  teng  boMishi  zarur  va  yetarli.  Shuni 
hisobga olgan  holda hosil  boMgan  ayniyatning  o ‘ng va  chap  tomonidagi  x ning bir 
xil  darajalari  oldidagi  koeffitsientlami  tenglashtiramiz  va  yuqoridagi  noma’ lum 
koeffitsientlarga  nisbatan 
m
  ta  chiziqli  tenglamalar  sistemasini  hosil  qilamiz.  Shu 
sistemani yechib,  noma’lum koeffitsientlami  topamiz.
x2
 
.
.
.
9.24-misol.  Ushbu  —---- ratsional kasmi  sodda kasrlarga yoying.
X   — о
Yechish.  x3-8=(x-2)(x2+2x+4) boMganligi  sababli  (8) formulaga ko‘ ra
x
2
  _  
x
2
 
A 
B x+ C
x 3  — 
8 
( x - 2 ) ( x 2
+ 
2 x + 4 ) 
x - 2  
x2 
+ 
2x 
+ 
4 ’
241

---

bu  yerda 
A,  В
  va 
С
  lar  nom a’lum  koeffitsientlar.  Bu  tenglikning  o'ng  tomonini 
umumiy mahrajga keltiramiz,  u holda
x 2
 
A(x
2
 + 2 x + 4 ) + (Bx + C ) ( x -
2
)
—г---- -- 
; 
—~~l
  Г 
----------  bo‘ ladi.  Bundan
x  — 8 
( x - 2 ) ( x   + 2 x + 4 )
х
2
=(А+В)х
2
+(2А+С-2В)х +4A-2C.
Endi  x  ning  bir  xil  darajalari  oldidagi  koeffitsientlami  tenglashtinb, 
А,  В,  С
 
lami  topish uchun  ushbu tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz:
1 
= A + B,
 
1
0 = 2A + C - 2 B ,l'>=>A 
=  
- , B  = 
- ,
  C  =   — .
0 = 
4 A -2 C
 
jj 
3 
3 
3
Shunday qilib, 
x
2
  =  
1 
2
(x +
1)
x
3 - 8
  3 (x —2) 
3(x
2
 + 2 x  + 4)
9.25-misol. Ushbu  / A 
+ ^ x
  9—  ratsional kasmi sodda kasrlarga yoying.
x  + 4x  + 4x  — 9 
ь  у  у  &
Yechish.  Kasming mahrajim  ko‘paytuvchilarga ajratamiz:
x 4+4x3+ 4x2-9= (x2+ 2 x)2-9= (x2+2x-3 
)(x2+Zx+3 
) = (
x
-
 
1 )(x+3 )(x 2+ 2 x + 3 ).
(8) formuladan  foydalanib yoyilmani  yozamiz:
7x
2
 +  2 6 x - 9  
A 
В 
C x + D
( x - l)(x  +  3)(x2 +  2x +  3) 
x — 1 
x +  3 
x 2 +  2x +  3
Tenglamaning o ‘ng tomonini  umumiy mahrajga keltiramiz.  U holda
7 x2 +  2 6 x - 9  
(x - l)(x  +  3)(x2 +  2x +  3)
A(x
 +  3)(x2 +  2x +  3) +  B (x  -  l)(x 2 +  2x +  3) +  (Cx +  
D )(x
 +  3)(x -1 )
( x - lX x  +  ЗХ^2 +  2x +  3) 
boiadi. 
Bu 
kasrlaming 
suratlarini 
tenglashtiramiz 
so ‘ngra  x  oldidagi 
koeffitsientlami tenglashtirib  quyidagiga ega boMamiz:
242

---

О 
= А + В + С,
 
] 
7 = 5А + В + 2С + D,
 
26 = 9А + В - З С  + 
2
D
 
- 9  = 9 А - З В  -  3D,
А = \,  В  = ],С  = -2 ,  D = 5.
Demak,
7х
2
 +  26л:- 9
1 
1 
- 2 х  +  5 
■
 +
 
+  ■
( х - 1)(х-+-3)(х  -ь2jc +  3) 
х - \
 
х +  3 
х~ +  2 х +  3 
N om a’ lum  koeffitsientlami  topishda 
х
  ning  bir  xil  darajalari  oldidagi 
koeffitsientlami  solishtirish  o ‘ m iga  jc  o ‘zgaruvchiga  bir  nechta  (noma’ lum 
koeffitsientlar  soniga  teng)  qiymatlar  berib,  noma’ lum  koeffitsientlarga  nisbatan 
tenglamalar  sistemasini  hosil  qilish  mumkin.  Bu  metod 
xususiy  qiymatlar metodi
deb  yuritiladi.  Bu  metod  ayniqsa 
ratsional  kasr  mahraji  ildizlari  sodda  va
& .(*)
haqiqiy bo'lganda qo‘ l keladi.  Bundax ga shu ildizlarga teng qiymatlar berish qo'lay 
bo'ladi.
9.26-misol.  4.:~—
ni  sodda kasrlarga aj rating. 
jc  
- 4
jc
Yechish.  (8) formulaga ko'ra 
4
x
2
 + 16x —8 
4 x 2 + 1 6 x -
_ A
x(x + 2 ) ( x - 2 )  
x
 
x + 2  
x
- 2
В 
С
 
• + ■
jc
 
-  
4x
Ushbu tenglikning o'n g tomonini  umumiy  mahrajga keltiramiz va suratlarini 
tenglashtiramiz:
4
jc
2+ 1 6
x
- 8 = . /4 (
x
+ 2 ) (
x
- 2 ) + Z ?
jc
(
x
- 2 ) + C
x
(
jc
+ 2 ) .
x
 ga ketma-ket 
jc
= 0 , 
jc
= - 2  
va x=2 qiymatlar berib quyidagini hosil qilamiz: 
jc
 
=  0  - 8  =  -4 A l 
Г  /4 = 2 , 
x
- - 2
  -2 4  = S b \ = > \ b  = - 3 ,
 
x = 
2
  40 =  8C  || 
\ c  = 5.
Shunday qilib,
4x“ +1 
6
jc
— 8
3 
5
■ + •
x ( x +
2
) ( x -
2
) 
x  x
+ 2
 
x
- 2
243

---

B a ’zi  hollarda  yuqorida  ko'rilgan  ikkala  metoddan  birgalikda  foydalanish 
ham  mumkin,  y a’ni  noma’ lum  koeffitsientlarga  nisbatan  tenglamalar  sistemasini 
hosil  qilish  uchun 
x
  ga  bir  qator  xususiy  qiymatlar  berish  va  x  ning  oldidagi 
koeffitsientlami  tenglashtirish  mumkin.
Endi  ratsional  kasr  funksiyalami  integrallash  qoidasini  keltiramiz.  Ratsional 
kasmi  integrallash  uchun  quyidagi  ishlami  bajarish  lozim:
1)  agar qaralayotgan