T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

3.2. 
Ekstremumning zaruriy sharti. 
Funksiya hosilalari yordamida uning 
ekstremum nuqtalarini topish osonlashadi.
Awal ekstremumning zaruriy shartini ifodalovchi teoremani keltiramiz.
8.15-teorema.
  Agar  f(x)  funksiya  x0  nuqtada  uzluksiz,  shu  nuqtada 
ekstremumga ega boMsa,  u holda bu nuqtada Дх)  funksiyaning hosilasi nolga teng 
yoki mavjud emas.
43-rasm
196

---

Isbot. 0 Aytaylik, f(x) funksiya xо nuqtada maksimumga ega bo‘lsin. U holda 
xo nuqtaning shunday  (xo-S;  Хо+S)  atrofi  mavjud bo‘lib,  bu atrofdan olingan  va xo 
nuqtadan farqli ixtiyony x uchun f(xf(x) boMadi. Agar дг>дг0 boMsa, u holda
f ( x ) ~  f ( x 0) ^  
x - x 0
tengsizlik, agar x boMsa, u holda
f ( x ) - f ( x o K n 
x - r 0
tengsizlik o'rinli boMishi ravshan.
Bu tengsizliklar chap tomonidagi ifodalaming x^>x0 da limiti mavjud boMsa, 
u holda
lim  f ( x )~ f ( x 0 > =f(x0+0)<0, 
lim  ff J E) ~ 
) =f'(x(rO)>0
x->jto+° 
x - x 0 
x-4JC0-0 
x - x 0
bo'ladi.
Agar  funksiyaning  chap  f  (xfr0)  va  o‘ng  f  (x0+0)  hosilalan  nolga  teng 
boMsa, u holda funksiya hosilasi  f  (xo) mavjud va nolga teng boMadi.
Agar  /'(x 0 — 0)  va  f\xQ + 0)  lar  noldan  farqli  boMsa,  ravshanki 
f i x  о + 0)  < /'(x 0 — 0)  bo‘lib, / '( x 0)  mavjud bo'lmaydi.
Funksiya  x0  nuqtada  minimumga  ega  boMgan  hoi  ham  yuqoridagi  kabi 
isbotlanadi  ♦
8.16-ta’rif.  Funksiya  hosilasini  nolga  aylantiradigan  nuqtalar  yoki  hosila 
mavjud boMmaydigan nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalari deb ataladi.  Funksiya 
hosilasi nolga teng boMgan nuqtalar statsionar nuqtalar deb ataladi.
Har qanday kritik nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi boMavermaydi.
Masalan,f(x) =(x-l)3,  /   (x)=3(x-l)2,  f  (1)=Q boMib, xo=l  kritik nuqta. Lekin 
xofI  nuqtaning  ixtiyoriy  atrofida /(!)=  0  eng  kichik,  yoki  eng  katta  qiymat  boMa 
olmaydi. Chunki har bir atrofda noldan kichik va noldan katta qiymatlar istalgancha 
bor. Demak, x=l  nuqtada ekstremum yo‘q.
8.17-misol. Agarf(x) funksiya x0 nuqtada cheksiz hosilaga ega boMsa, u holda 
bu nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi boMa olmasligini ko‘rsating.
197

---

Yechish. 
Aytaylik,  f '( x Q)  = hm 
= +00  bo'lsin. U holda
*-»*b 
X
 —  Х у
Ixtiyoriy 
e
>0
 
uchun shunday 5>0
 
son topilib, (Xo-S; x0+S) dan olingan
ixtiyoriy x#x0 lar uchun  f ( x) ~ f ( xo) > 1   tengsizlik bajariladi.  Bundan esax>x0
x — x0 
e
da f(x)>f(xo), x da f(x) ekanligi kelib chiqadi. Demak, f(x) funksiyaning x0 
nuqtada ekstremumi yo'q. 
f
  (
x q
) = -
o c
 
bo'lgan hoi ham yuqoridagi kabi isbotlanadi.