T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

2.2. 
Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyaning hosilasi. 
Faraz qilaylik, 
x argumentning у funksiyasi quyidagicha
\
 x = (p{t),
4 
(5)
13' = И 0 ,  a < t < P
parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘Isin.
Agar x=(p(t) funksiya teskarilanuvchi boMsa, ya’ni  t = (p~\x)  mavjud boisa, 
u  holda y ^itft)  tenglamani  y=\f^(p~\x))  ko'rinishda  yozib  olish  va y=4'((P~\x))
192

---

funksiyaning  hosilasini  topish  masalasini  qarash  mumkin.  Odatda  bu  masala 
parametrik  tenglamalar bilan  berilgan  funksiyaning hosilasini  topish  masalasi  deb 
ham yuritiladi.
8.11-teorema. Aytaylik,  cp(t)  va  ty(t) funksiyalar [a;P]  da uzluksiz va (da differensiallanuvchi hamda 
 shu intervalda ishorasini saqlasin.  Agar x=q>(t) 
funksiyaning  qiymatlar  to'plami  [a,b]  kesma  boMsa,  u  holda  x=(p(t),  y=i/40 
tenglamalar  [a,b]  da  uzluksiz,  (a,b)  da  differensiallanuvchi  bo‘lgan  y=f(x) 
funksiyani aniqlaydi va
y , - r w - 4 = ^ 4  
(6)
x ,  
q>(t)
formula o‘rinli boMadi.
Isbot. 0  Teorema shartiga ko'ra 
  funksiya [a;p]  da ishorasini  saqlaydi, 
aniqlik uchun 
)> 0 boMsin.  U holda x=
 funksiya [oc;P] da uzluksiz va qat’iy 
o‘suvchi boMadi. Shuning uchun [a.b] kesmada unga teskari boMgan uzluksiz, qat’iy 
o‘suvchi 
t = 
 
funksiya  mavjud  va  bu 
funksiya  (a,b)  oraliqda 
differensiallanuvchi,  hosilasi  t'. = -—  formula  bilan  hisoblanadi.  Bu  holda
A
У=1У(0~М9  (x))  funksiya ham  [a,b]  kesmada uzluksiz boMadi.  Bu funksiyaning 
hosilasini  topamiz.  Murakkab  funksiyaning  hosilasini  hisoblash  qoidasiga  ko‘ra
y x= y 'tt’x, bundan esa у . = y t■
 —  = У-L  ( x\?tOJ  boMishi kelib chiqadi. ♦
x',  x\
(a J3) da (p’(t)<0 boMgan holda teorema shunga o‘xshash isbotlanadi.
[ x= 4cos31,
8.12-misol.  Ushbu  л 
, 
parametrik  tenglamalar
\{у = 4ят*1, 
0 < t< 7 r/2
bilan berilgan funksiyaning hosilasini toping.
Yechish.  (0,я/2)  da  x’t - - l2cos2ts in t<0  va  bu  kesmada  yuqoridagi 
teoremaning  barcha  shartlari  bajariladi.  Shuning  uchun  (6)  formulaga  ko‘ra
, 
1 2
sin2tcost
 
. 
«1
  ••
у  = ----- ----— = —tgt  bo  ladi.
— 
12cos  tsint
193

---

Ravshanki,
j X = 
i// (t) 
a  < t<  P 

(
7
)
tenglamalar у x funksiyani x ning funksiyasi sifatida parametrik ifodalaydi.
Aytaylik,  (6)  tenglamalar  sistemasi  yuqoridagi  teorema  shartlarini 
qanoatlantirsin.  U holda у л funksiyaning x bo'yicha hosilasi, ya’ni у ning 
jc
 
bo'yicha 
ikkinchi tartibli hosilasini quyidagicha hisoblash mumkin:
Shunday qilib, quyidagi qoida o‘rinli ekan: 
у  
ning 
jc
 
bo'yicha ikkinchi tartibli 
hosilasini topish uchun parametrik ko'rinishda berilgan funksiyaning birinchi tartibli 
hosilasi у ’x ni / parametr bo'yicha differensiallab, so'ngra hosil qilingan natijani 
jc
 
ga bo'lish kerak.
Misol  tariqasida yuqorida berilgan  funksiyaning  ikkinchi  tartibli  hosilasini 
topamiz:  y 'x=tgt,  (y ’J  \=(igt) \=l/cos2t  va  x ’t=-J2cos2t sint  ekanligini  e’tiborga
olsak, qoidaga ko'ra у  2  -------j ---- bo'ladi.
12 cos  t  sint
Xuddi  shu  usulda  uchinchi  va  boshqa  yuqori  tartibli  hosilalar  ham 
hisoblanadi.
8-11  *( 
sistema berilgan. Bu sistema y=fix) funksivani
[y = cost, te  
(-oo;+oo) 
J
amqlaydimi?
I  X  =  t + C O S t ,
8-12.  Ushbu  < 
. 
sistema  biror  sohada