T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

Mashq va masalalar
Funksiyaning monotonlik oraliqlarini toping:
8-1. / ( я )   =   (дс —  2 ) 2  ■
 (x  +  2). 
8-2.  / (
jc
)  =  
ln (x 2  - 2x 
+  4).
8-3. / ( * )   =  
x  + 
e~x.
 
8-4. 
/ ( j c )  
—  
xlnx.
8-5. у  =  
8-6. 5 (t)  =  
t 
+ cost.
8-7. 
a 
pa ra m e tm in g   qanday  qiy m atla rid a   / (
jc
)  fun k siy a   sonlar  o ‘q id a  
o ‘ suvchi  b o 'la d i?
a) / ( * )   =  x3  -  ax; 
b) 
/ (
jc
) 
= 
^ - ^ J c 3 
+ (a -  
1 )
jc
2 
+ 2x;
c) 
/ ( j c )  
=  
ax 
—  
sinx; 
d) 
/ ( j c )  
=  
ojc 
+ 3sinjc + 
4cosx.
8-8.  Agar 
f(x )
  funksiya  (
a;b)
  oraliqda uzluksiz va  (
a;b
)  oraliqning chekli 
sondagi  nuqtalaridan  boshqa  barcha  nuqtalarda 
f ix )  >
  0  bo‘lsa, 
f(x )
  funksiya 
(a; 
b)
  oraliqda qat’iy o‘suvchi bo‘ladi.  Isbotlang.
8-9.  Aytaylik, 
fix ) 
funksiya (a;fc)  oraliqda o‘suvchi bo‘lsin.  Bundan / ' (
jc
) 
ham (a;fc) oraliqda o‘suvchi bollishi kelib chiqadimi?
8-10.  Agar 
8 >
  0  topilib,  jc  e  (jc0 — 
8, 
x0) 
uchun  /(jc)  <  / ( jc0)  va  jc  e 
(
x0,x0 
+ 5) uchun 
f ix 0) 
<  
fix )  
bo‘ Isa, u holda/(jc) funksiya jc0 nuqtada о ‘suvchi 
deyiladi.  Quyidagilami isbotlang:
a) 
f ix )   funksiya  biror  oraliqning  har  bir  nuqtasida  o‘suvchi  bo‘lsa,  u  shu 
oraliqda o‘suvchi bo‘ladi.
b)
  f ix )   =  I х + X  S*n x'  x *  
funksiya 
jc
 
=  0  nuqtada  o‘suvchi,  lekin
I   0, 
jc
 
=   0
shu nuqtani o‘z ichiga olgan hech bir oraliqda osuvchi emasligini isbotlang.
190

---

2.1. 
Funksiyani parametrik usulda berilishi 
Aytaylik, / o'zgaruvchining T 
qiymatlar to"plamida
2-§. Parametrik ko'rinishda berilgan funksiyaning hosilasi
funksiyalar  sistemasi  berilgan  va  x = 
  funksiyaning  qiymatlar  to‘plami  D 
boisin.  Ushbu  savolga  javob  izlaymiz:  (1)  sistema  D   to‘plamda  у  ni  x  ning 
funksiyasi sifatida aniqlaydimi? Har bir 
jc
 
ga unga mos / bo‘yicha У = 
^ ( 0  
soni mos 
qo‘ysak, bu moslik funksiya bo'ladimi?
D  
to 'p la m d a n  ixtiyoriy 
jc
0 ni tayinlab,
tenglamani qaraymiz.
Bu  tenglama  T to'plamda  yechimga  ega.  Ammo  (2)  tenglamaning  ildizi 
yagona boimasligi ham mumkin.  Aytaylik, bu tenglama 7’to‘plamda bir nechta /0i> 
/
02
, .. • ildizlarga ega bo'lsin. U holda yol = ^ (/01),  У02 = V'fte)» -  sonlar ichida bir- 
binga teng  bo'lmaganlari  mavjud  bo'lishi  mumkin,  masalan  yQl * yo:  bo'lsin.  U 
holda yuqoridagi moslikka ko'rax=x0 gay0 sifatiday0i ni hamy02 ni ham mos qo'yish 
mumkin.  Shu  sababli  (1)  funksiyalar  sistemasi  yordamida  D   to'plamda 
jc
 
ning 
funksiyasini aniqlab bo'lmaydi.
Ikkinchi  tomondan,  (2)  tenglama  ildizlari  to'plamida  y  = 
  funksiya
o'zgarmas songa teng bo'lishi  mumkin:  ^(^oi) = 
^(^02
) = 
>0
 - U holda qaralayotgan 
*o  songa у o'zgaruvchining  t ga mos  keladigan  yagona yo qiymatini  mos  qo'yish 
mumkin.
Agar D  dan olingan har bir x uchun yuqoridagi xossa o'rinli bo'lsa, u holda D 
sohada  yuqoridagi  qoida  yordamida y=j{
jc
)  
funksiya  aniqlanadi.  Bu  funksiya  (1) 
sistema  yordamida  aniqlangan  deyiladi.  (1)  dagi  t  o'zgaruvchi  parametr,  y=j{x) 
funksiya esa parametrik ko'rinishda berilgan deyiladi.
Г x = m(t)
(
1
)
*o=P(0 
(2)

---

(1)  sistemadan  y=J(x)  funksiyaning  analitik  ifodasini  olish  parametmi 
yo qotish deb ataladi.
(1) 
sistema у o'zgaruvchini  л: o‘zgaruvchining  funksiyasi  sifatida  aniqlashi 
uchun  x = (p(t)  funksiya (T to‘plamdan  olingan  t  uchun)  teskarilanuvchi  bo‘lishi 
yetarli.  Haqiqatdan ham, bu holda (2) tenglama  T to‘plamda yagona yechimga ega 
bo‘ladi.  Demak,  D   dan  olingan  har  bir *o  uchun  Jt0 =(p{t0)  bo‘ladigan  yagona  to 
mavjud, bu t0 songa yagona  >’0 = \f/(tv)  mos keladi.  Shunday qilib, (1) sistema у ni x 
n in g y ^ x ) funksiyasi sifatida aniqlaydi.  Bu funksiyani x ning murakkab funksiyasi 
sifatida aniqlash mumkin:
y = f{ x ) = y/((p~\x)), 
bu yerda (p~\x)  funksiya  x - (p(t)  funksiyaga teskari funksiya.
fjc = /3
8.10-misol.  7  = (-co,+oo)  da  -I 
benlgan.  Bu sistema y^flx) funksiyani
I [y = tA
aniqlaydimi?
Yechish. 
x=P  funksiya  T da  qat’iy  monoton  va  /) = (—oo;+ao)  da  teskari
Г  
( 
X 
= t3
funksiyasi  t = \Jx  mavjud.  Bundan  <( 
sistema у ni x ning  funksiyasi  sifatida
\{y=tA
aniqlaydi.
Bu  holda у  funksiyani  t  parametmi  yo‘qotib,  x  orqali  ifodalash  mumkin: 
у = xyfx, bu yerda XE (-oc;+oc).