T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

1.2. 
Funksiyaning  o‘sishi  va  kamayishi. 
Biz  bu  yerda  funksiya  hosilasi 
yordamida funksiyaning monotonligini aniqlash mumkinligini ko'rsatamiz.
8.4-teorema  Aytaylik,  f(x)  funksiya  (a;b)  intervalda  aniqlangan  va 
differensiallanuvchi  boMsin.  Bu  funksiya  (o;b)  intervalda  kamaymaydigan 
(o‘smaydigan) bo'lishi uchun f ’(x)>0 (f’(x)<0) tengsizlikning o‘rinli bo‘lishi zarur 
va yetarli.
Isbot. 
0 Kamaymaydigan funksiya holini qaraymiz.
Zanmyligi. f(x)  funksiya (a;b)  intervalda kamaymaydigan  boMsin.  U holda 
ixtiyoriy  x 6  (a; b)  va  Ar>0  uchun  Ay=f(x+Ax)-f(x)>  0  tengsizlik,  Ax<0  uchun
4 y=f(x+Ax)-f(x)<0 tengsizlik  o‘rinli  bo‘ladi.  Bundan  esa  — >0 boiishi ravshan.
Ax
Teorema shartiga ko'ra f(x)  differensiallanuvchi,  demak  —   nisbatning Ax->0  da
Ax
chekli limiti  mavjud,  tengsizlikda limitga o‘tish haqidagi  teoremaga (3-84 masala)
• 
Ay
ko'ra, bu limit nomanfiy bo'ladi, ya’ni  lim -JL-=f '(x)> 0.
Л->0  At
Yetarliligi.  ixtiyony  x E  (a; b)  uchun f ’(x)>  0  bo'lsin.  Endi  xj  bo'lgan 
ixtiyoriy xi, X
2
e(a;b) nuqtalami olaylik. Qaralayotgan f(x) funksiya [xi;x
2
] kesmada 
Lagranj  teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi.  Demak, (д:r,x2) intervalga 
tegishli shunday с nuqta topilib,
f(x
2
)-f(x,)=f'(c) (xr x,) 
(
2
)
187

---

tenglik o'rinli  boladi.  Teorema shartigaf ’(x)>0, bundan f(c )Z 0, va (2) tenglikdan 
f(x2)~f(xi)>0,  ya’ni f(xo)> f(xi)  ekanligi  kelib  chiqadi.  Bu  esa  funksiyaning  (a;b) 
intervalda kamaymaydigan funksiyaligini ko‘rsatadi.
0 ‘smaydigan funksiya holi ham yuqoridagi kabi isbotlanadi. ♦
Endi funksiyaning qat’iy monoton boMishining yetarli shartini isbotlaymiz.
8.5-teorema.  Agar  f(x)  funksiya  (a,b)  intervalda  differensiallanuvchi  va 
ixtiyoriy  x e  (a;b )  uchun f'(x)>0  (f(x)<0  )  boMsa,  u  holda f(x)  funksiya  (a,b) 
intervalda qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) boMadi.
Isbot.  0  Aytaylik,  xt,x2e(a;b)  va 
xj
2
 bo‘lsin. Ravshanki, [xr,x2] kesmada 
f(x)  funksiya  Lagranj  teoremasining 
barcha  shartlarini  qanoatlantiradi.  Bu 
teoremaga  binoan  shunday  ce(xi;x2) 
mavjudki
ftxj-ftx,) = f(c) (X2-X,) 
tenglik  o'rinli  boMadi.  Bu  tenglik  va 
f'(c)> 0  (J’(cj<0  )  ekanligi dan f(x2)>f(xi) 
if(x
2
) boMishi kelib chiqadi. 
41-rasm
Buf(x) funksiyaning qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) boMishini ifodalaydi. ♦
Ushbu y=x3 funksiya (-1; 1)  intervalda  qat’iy o‘suvchi,  lekin  uning hosilasi 
x=0 nuqtada nolga teng boMadi.
Shunga  o'xshash  f(x)=x+cosx  funksiya  ham  aniqlanish  sohasida  qat’iy 
o'suvchi,  ammo  uning  hosilasi  f'(x)=l-sinx  cheksiz  ko‘p  nuqtalarda  (x = ^ + 
2nn, n e Z) nolga teng boMadi (41-rasm).
Bu  misollar yuqoridagi  teoremaning  shartlari  funksiyaning  qat’iy  o‘suvchi 
(kamayuvchi) boMishi uchun faqat yetarli shart ekanligini ko‘rsatadi.
8.6-misol. Ushbu f(x)=2x2-lnx funksiyaning monotonlik intervallarini toping.
Yechish. Funksiya (0;+oc) intervalda aniqlangan va hosilasi  f  (x)=4x-l/x ga
teng.  Yuqoridagi  yetarli  shartga  ko‘ra,  agar  4x-7/x>0  boMsa,  ya’ni  x>l/2  boMsa,
188

---

o‘suvchi;  agar  4x-l/x<0  boMsa,  ya’ni  *<1/2  bo'lsa  funksiya  kamayuvchi  boiadi. 
Shunday qilib, funksiya (0; 1/2) intervalda kamayuvchi, (1/2;+») intervalda o'suvchi 
bo'ladi.