T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

3.3. Ekstremum mavjud boMishining yetarli shartlari.
8.18-teorema. 
Aytaylik,  f(x)  funksiya  xo  nuqtada  uzluksiz  va  xо  nuqta 
funksiyaning kritik nuqtasi bo'lsin.
a)  Agar  ixtiyoriy  (xo-S;x0)  da  f  (x)>0,  (x0;x0+S)  da  /  (x)<0  tengsizliklar 
o'rinli bo'lsa, ya’ni  f  (x) hosilax0 nuqtadan o'tishida o'z ishorasini «+» dan «-» ga 
o'zgartirsa, u holda ^x) funksiya x0 nuqtada maksimumga ega bo'ladi.
b) Agar (xor5;xo) da 
f
 
(x)<0, (xo;xo+S) da 
f
 
(x)>0 tengsizliklar o'rinli bo'lsa,
ya’ni  /  (x) hosila xo nuqtadan o'tishda o‘z ishorasini  «-» dan «+» ga o'zgartirsa, u 
holda f(x) funksiya xo nuqtada minimumga ega bo'ladi.
c) Agar f  (x) hosila xo nuqtadan o'tishda o'z ishorasini o'zgartirmasa, u holda 
f(x) funksiya x0 nuqtada ekstremumga ega bo'lmaydi.
Isbot. 
0 
a)  holni  qaraymiz.  Bu  holda  (xo-S;x0)  da 
f
  (
x)>0  bo'lishidan f(x)
funksiyaning (xorS;  xo)  da qat’iy o'suvchiligi  kelib  chiqadi.  So'ngra shartga ko'ra 
f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo'lgani sababli
lim  f ( x ) =   lim  f ( x )  = f ( x Q) 
(l)
х-ьхц-0 
Х-+ХЦ+0
tenglik o'rinli. Demak, (x0 -S; 
X
q
)
 
dan olingan ixtiyoriy x uchun 
f(x) 
(
2
)
bo'ladi.  (xo;  x0 +S)  da f ’(x) < 0  bo'lishidan  Дх)  funksiyaning  (xft‘  xo+S)  da  qat’iy 
kamayuvchiligi  kelib  chiqadi.  Demak,  (1) tenglikni  e’tiborga olsak,  (xo;xo+S)  dan 
olingan ixtiyoriy x uchun  yana 
(
2
) 
tengsizlik bajariladi. Bundan x0 dan farqli barcha
198

---

xe(xo-8;xo+S) uchun f(x) bo'ladi, ya’ni f(x) funksiya x0 nuqtada maksimumga 
ega.
b) 
bu holda f(x) funksiya Xo nuqtada minimumga erishishi a) holga o'xshash 
isbotlanadi
f'(x) hosila xo nuqtadan o'tishda o'z ishorasini o'zgartirmaydigan с) holdaf(x) 
funksiya xo nuqtaning (x0 -S; xo^S) atrofida qat’iy o‘suvchi yoki qat’iy kamayuvchi 
bo'ladi.  Demak, x0 nuqtada ekstremum yo‘q. ♦
Shunday qilib  ekstremumga sinalayotgan nuqtani  o'tishda funksiya hosilasi 
ishorasining o‘zgarishi  ekstremumga erishishning faqat yetarli  sharti  bo‘lib,  lekin 
zaruriy sharti bo'la olmaydi.
Yuqoridagi  teoremadan  funksiyaning  ekstremumga  tekshirish  uchun  1- 
qoidani keltirib chiqaramiz.
8.19-qoida  f(x) funksiyaning ekstremumlarini topish uchun
1 )f(x)  funksiyaning/’^   hosilasini topib,/Y*)=0 tenglamani yechish kerak. 
So'ngra f'(x)  mavjud  bo‘lmagan  nuqtalami  topib,  kritik  nuqtalar to‘plamini  hosil 
qilish kerak.
2)  har  bir  kritik  nuqtadan  chapda  va  o'ngda  hosilaning  ishorasini  aniqlash
kerak.
3) agar hosila ishorasini «+» dan «-» ga («-» dan «+» ga) o'zgartirsa, u holda 
bu kritik nuqtada f(x) funksiya maksimumga (minimumga) egaboMadi. Agar hosila 
ishorasi o'zgarmasa, ekstremum mavjud boMmaydi.
8.20-misoI.  f ( x )  = (x  + 4)\ (x - l)2  funksiyaning ekstremumini toping. 
Yechish.  Bu  funksiya  (-qo;+oo)  oraliqda  aniqlangan  va  uzluksiz.  Uning
hosilasini topamiz:  f ( x ) = 
^ .
3vX-l
Ravshanki, hosila x=-\  nuqtada nolga aylanadi, x=l nuqtada esa chekli hosila 
mavjud emas.
199

---

Endi  hosilani  ishorasini  aniqlaymiz.  Buning  uchun 
(-x;+oo) 
oraliqni  44- 
rasmda  ko‘rsatilgandek  oraliqlarga  ajratamiz  va  hosil  boMgan  har  bir  oraliqda 
hosilaning ishorasini aniqlaymiz.
44-rasm
Bu chizmadan qoidaga ko‘ra berilgan funksiyaning x=-l  nuqtada maksimum 
qiymat  j(-\ ) = 3\ 4  ga va x=\  nuqtada minimum qiymatf(x)= 0 ga ega boMishini 
ko‘rish mumkin.