Степень с рациональным показателем Арифметический корень

§2. Степень с рациональным показателем


1. Арифметический корень. Пусть n – натуральное число, .
Определение 1. Корнем n - ой степени из числа а называется число b, n - ая степень которого равна а ( ).
Пример 1. Числа 2 и -2 являются корнями второй степени из числа 4, так как
и . Число -4 является корнем третьей степени из числа -64.
Определение 2. Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число b, для которого bⁿ = а.
Арифметический корень n-ой степени из числа а обозначается через . Из определения следует, что .

Пример 2. , так как 5⁴ = 625; .

Значение арифметического корня не изменится, если показатель степени корня умножить на любое натуральное число m и одновременно подкоренное выражение возвести в степень с тем же показателем m, т.е.

( ) (1)

Равенство (1) является основным свойством корня. Справедливы также следующие свойства корней:

(2)
(3)
( - натуральные числа, ) (4)
Замечание 1. Для нечетных значений n > 1 корень n-ой степени из отрицательного числа обозначают в виде . Причем его можно выразить через арифметический корень той же степени по следующей формуле
.
Например, .
2. Преобразование радикалов.
Часто корни называют радикалами. Далее рассмотрим преобразование радикалов.
а) Вынесение множителей за знак корня.
Если подкоренное выражение можно разложить на степени (множители), показатели которых кратны показателю степени корня, то такие множители могут быть вынесены за знак корня. Например,
,
.
б) Введение множителей под знак корня.
Всегда можно ввести под знак корня множители, стоящие перед ним. Для этого достаточно возвести эти множители в степень, показатель которой равен показателю степени корня, а затем записать полученные выражения под знаком корня. Например,
,
.

в) Освобождение подкоренного выражения от знаменателя.

Пусть необходимо освободиться от знаменателя в выражении . Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на . Имеем
.
Полученное подкоренное выражение уже не содержит знаменателя.