Степень с рациональным показателем Арифметический корень

Замечание 2. При извлечении корня из алгебраической суммы нельзя извлекать корни из каждого слагаемого по отдельности. Так, например,
.
Тогда как
.
г) Подобные радикалы.
Радикалы (корни), у которых одинаковы показатели степеней и равны подкоренные выражения , называются подобными радикалами. Например, радикалы и подобны. Для того, чтобы определить подобны ли между собой данные радикалы, необходимо предварительно упростить их.
Пример 3. Радикалы и подобны, так как после упрощения они имеют вид соответственно и , т.е. имеют равные подкоренные выражения и одинаковые показатели степеней у радикалов.
3. Степень с рациональным показателем.
В предыдущих пунктах мы видели, что при извлечении корня из степени данного числа делят показатель этой степени на показатель степени корня, если деление выполняется нацело. Например,
.
Теперь распространим это правило и на случай, когда показатель степени числа не делится нацело на показатель степени корня. Пусть a 0, m – целое, n – натуральное число ( n > 1). По определению положим
(при m 0 считаем, что a > 0).
Так как рациональное число – это число вида , где m – целое, n – натуральное число, то из формулы

получаем, что . Таким образом, определена степень неотрицательного числа с рациональным показателем .
Свойство (1) можно теперь записать в виде
, p – натуральное число (5)
Основываясь на этом свойстве, мы можем преобразовывать дробный показатель степени по тем же правилам, что и для обыкновенной дроби. Именно:
1) при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются
(6)
Например,
.
Действительно, представим степени с дробными показателями в виде радикалов и произведём умножение по правилу умножения радикалов. Тогда имеем
= .
2) При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя
(7)
3) При возведении степени в степень показатели степеней умножаются
(8)
Отметим еще два свойства степеней с рациональными показателями:
4) Пусть 0 < a < b и r – рациональное число. Тогда
, если r > 0 ,
, если r < 0 .
5) Пусть r , s – рациональные числа и r > s . Тогда
, если a > 1 ,
, если 0 < a < 1 .