Степень с рациональным показателем Арифметический корень

§3. Действия над иррациональными выражениями

Над иррациональными выражениями производятся действия по тем же правилам, что и для рациональных выражений. Рассмотрим еще несколько специальных действий над иррациональными выражениями.

1. Освобождение знаменателя дроби от радикалов.
При вычислении дробных выражений, знаменатели которых содержат радикалы, полезно предварительно преобразовать дробь так, чтобы её знаменатель не содержал радикалов.
Пример 1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Решение. Умножим числитель и знаменатель данной дроби на ( ).Тогда
.
В общем случае, когда знаменатель дроби содержит выражение вида , числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженный множитель, т. е. на множитель вида , поскольку в этом случае .
Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения

Решение. Имеем
.

Теперь умножим числитель и знаменатель последней дроби на ( ). Тогда имеем

= ,
где а + в – с 2  0.
Если в знаменателе дроби имеется выражение вида
 ,
то в качестве сопряженного множителя следует взять
,
поскольку тогда .
Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение
.
Имеем

Для выражений вида сопряженный множитель определяется с помощью тождеств

Пример 4. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
(а  0 , в  0) .
Решение. Имеем

После упрощений получаем
,
где а  0, в  0 ,  0 .


2. Формула сложного квадратного радикала.
Для выражений вида имеет место следующая важная формула, называемая формулой сложного квадратного радикала

где А  0, В  0,  . Выведем эту формулу.
Рассмотрим сумму вида с = + . После возведения в квадрат
получим . Откуда с = . Следовательно,
+ = .
Рассмотрим теперь разность вида ( - ). Действуя аналогично, получим
- = .
Складывая, а затем, вычитая почленно последние два равенства, имеем соответственно
2 = + ,
2 = - .
Отсюда получаем искомые формулы
= + ,

Пример 5. Вычислить .
Решение. Применим формулу сложного квадратного радикала. Тогда имеем


= = - = - 1.
Ответ: .

Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих радикалы. При решении таких примеров часто допускаются ошибки, в следствии неправильного применения правил действий над радикалами.

Пример 6. Упростить выражение .

Решение. Так как - это арифметический корень, то и, следовательно, .
Пример 7. Упростить выражение , если .
Решение. Так как , то имеем
.
Пример 8. Ввести знаменатель под знак корня в выражении , если .
Решение. Так как , то . Поэтому .
Пример 9. Вычислить .
Решение. Используя формулу сложного квадратного радикала, вычислим
сначала . Имеем

Далее получим
.
Откуда .