Способы решения функциональных уравнений


Одно обобщение функционального уравнения Коши



Download 374,05 Kb.
bet12/20
Sana31.03.2023
Hajmi374,05 Kb.
#923753
TuriКурсовая
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   20
Bog'liq
Курсовая работа На тему «Способы решения функциональных уравнений»



3.5 Одно обобщение функционального уравнения Коши




Теорема 3.5.1 Пусть n - фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение


(3.5.1)

где D (f) = R. Решение данного уравнения при n > 1 является непрерывной функцией.


Доказательство.
При n = 1 уравнение обращается в уравнение Коши. Как было показано, в классе непрерывных функций единственным решением уравнения Коши является линейная однородная функция. Из результатов Гамеля следует, что и разрывные функции могут удовлетворять уравнению Коши. Покажем, что решение уравнения (3.5.1) при n > 1 является непрерывной функцией.
Полагая х = у = 0, получим f (0) = 0. Поэтому при х = 0 из (3.5.1) имеем f(уn) = (f(y))n для всех у R. Каждое неотрицательное число z может быть записано в виде z = уn. Отсюда



В частности, при х = -z





т.е. f(-z) = - f (z), z R. Если , то





Отсюда следует что




f(х + w) = f(х) + f(w)

для всех х R, w R, т. е. f(х) - аддитивная функция. Для аддитивной функции при рациональных t имеет место соотношение f(tw) = tf (w). Легко видеть, что




(3.5.2)

Воспользовавшись формулой Ньютона




,

и аддитивностью f(x), преобразуем отдельно левую и правую части (3.5.2) при рациональных t:




;

Правые части последних двух равенств представляют собой многочлены от t. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим




, .

В частности, для k = 2 имеем




. (3.5.3)

Если (f(1))n-2 > 0, то f(x) - неубывающая функция. Действительно, всякое у > 0 представимо в виде у = х 2, поэтому из (3.5.1.3) имеем f(у) = f(x2) ≥ 0. При х1 > x2, х1 - x2> 0, f(x1 - x2) ≥ 0, или, в силу аддитивности f(х), f (x1) - f (х 2) ≥ 0. Если же (f(1))n -2 < 0, аналогично доказывается, что функция f(х) - невозрастающая.


Ранее было доказано, что если аддитивная функция монотонна, то она имеет вид f(х) = ах.
Полагая в (3.5.3) х = 1, получим, что f(1) равно 0 или 1 при четном n и f(1) равно 0, 1 или -1 при нечетном n > 1.
Итак, f (х) = х либо f(х) = 0 при четных n; f (x) = х, либо f (х) = -х, либо f(х) = 0 при нечетных n > 1.
Тем самым доказана не только непрерывность решения уравнения (3.5.1) при n > 1, но и получен его вид.

Download 374,05 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   20




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish