Способы решения функциональных уравнений



Download 374,05 Kb.
bet14/20
Sana31.03.2023
Hajmi374,05 Kb.
#923753
TuriКурсовая
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   20
Bog'liq
Курсовая работа На тему «Способы решения функциональных уравнений»

Пример 4.1.2 Известно, что сложение действительных чисел обладает сочетательным свойством:


(х + у) + z = х + (у + z)

для любых х, y, z R. Требуется найти все непрерывные функции f(х), "сохраняющие" сочетательность, т. е.




f(х + у) + f(z) = f(х) + f(у + z) (4.1.2.1)


Решение. Перепишем (4.1.2.1) в виде


f(х + у) - f(x) = f(у + z) - f(z)

Легко видеть, что левая часть не зависит от х, т.е.




f(х + у) - f(x) = g(y)

При х = 0 имеем




f(у) = g (у) + а, а = f(0).

Пришли к функциональному уравнению Коши




.

Его непрерывным решением являются функции g(х) = сх. Таким образом,




f (х) = сх + а,

где а и с - произвольные константы.




4.2 Метод подстановок


Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.


Пример 4.2.1. Найти все функции f(x), заданные на промежутке


,

для которых выполнено равенство







Решение. Выполнив последовательно две замены ; приходим к системе функциональных уравнений:



Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е. из данной системы функция f(x) однозначно не определяется. Из первых двух уравнений находим






Мы можем определить f(x) произвольным образом на одном из интервалов и эти формулы дадут нам расширение f(x) на всё множество I.


Пример 4.2.2 Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x):





Решение. В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.
При этом



и первое уравнение принимает вид:





или




В результате получаем систему уравнений:





решение которой


g(x) = 1/x, f(x) = x+1.


Пример 4.2.3 Найти все решения функционального уравнения


f(xy) = yk f(x), k N.


Решение. Положим в уравнении x = 0: f(0) = yk f(0). Так как y - произвольно, то f(0) = 0.
Пусть теперь x ≠ 0. Подставим в уравнение


,

получим:



или (a=f(1))

Функция f(x) = axk является решением исходного уравнения.


Пример 4.2.4 Пусть - некоторое действительное число. Найти функцию f(x), определённую для всех x ≠ 1 и удовлетворяющую уравнению


,

где g - заданная функция, определённая при x ≠ 1.


Решение. При замене получаем систему
.

решением которой при a2 ≠ 1 является функция






Download 374,05 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   20




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish