Способы решения функциональных уравнений

Курсовая работа
На тему: «Способы решения функциональных уравнений»


Содержание

Введение
. Операции над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям над действительными числами

. Свойства основных операций над функциями, которые отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами
Виды функциональных уравнений
.1 Функциональное уравнение Коши
.1.1 Класс непрерывных функций
.1.2 Класс монотонных функций
.1.3 Класс ограниченных функций
.1.4 Класс дифференцируемых функций
.2 Функциональное уравнение показательной функции
.3 Функциональное уравнение логарифмической функции
.4 Функциональное уравнение степенной функции
.5 Одно обобщение функционального уравнения Коши
. Методы решения функциональных уравнений
.1 Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции
.2 Метод подстановок
.3 Решение функциональных уравнений с применением теории групп
.4 Применение теории матриц к решению функциональных уравнений
.5 Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений
.5.1 Предельный переход
.6 Дифференцирование
Заключение
Список использованных источников

Введение

Подготовка школьного учителя математики безусловно предполагает, что он обретет навыки сознательного владения математическими понятиями, которые должен будет использовать по долгу службы. Однако не все так очевидно и категорично, ведь некоторые фундаментальные математические понятия (например, понятие действительного числа) слишком сложны. Что бы аккуратные их определения нашли себе место в школьном курсе математики. Тем не менее, положение в нем такого важного математического понятия, как функциональное уравнение, весьма уникально и даже парадоксально: использование функциональных уравнений в школьном курсе математики имеет место, а вот самого термина (имени) "Функциональное уравнение" - нет. Вот и получается, что безымянное понятие (некий математический аноним!) присутствует на страницах школьных учебников по алгебре и началу анализа, как какой-нибудь герой невидимка, законспирированный до такой степени, что даже сам как использования этого понятия, обычно ускользает от всевидящего учительского ока. Но думается, что подобная не наблюдательность это - вина не столько учителя, сколько результат некоторых пробелов в его подготовке. Исправлению сложившегося положения, безусловно, послужили бы чтения студентам-"математикам" специального курса по функциональным уравнениям и методам их решения, проведения соответствующих практикумов по решению математических задач и, наконец, организация занятий соответствующей математике на курсах повышения квалификации учителей.

Ещё: даже несколько фраз, посвященных функциональных уравнениям и сказанных на лекциях по методике преподавания математики, так же способствовали бы исправлению сложившейся ситуации. Тем более, что функциональные уравнения хороший материал для изучения и иллюстрации некоторых свойств основных операций над числовыми функциями. Но пока функциональные уравнения забыты, увы, до такой степени, что уже делаются попытки даже сам термин "функциональные уравнения" использовать в качестве имени для "обычного" уравнения вида


f(x)=φ(x),

где f(x) и φ(x)- обозначения для некоторых функций.

В первом разделе курсовой работы рассматриваются операции над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям над действительными числами.
Во втором разделе курсовой работы рассматриваются свойства основных операций над функциями, которые отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами
В третьем разделе курсовой работы рассматриваются виды функциональных уравнений, функциональное уравнение Коши, класс непрерывных функций, класс монотонных функций, класс ограниченных функций, класс дифференцируемых функций, функциональное уравнение показательной функции, функциональное уравнение логарифмической функции, функциональное уравнение степенной функции, одно обобщение уравнения Коши
В четвертом разделе курсовой работы рассматриваются методы решения функциональных уравнений, метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции, метод подстановок, решение функциональных уравнений с применением теории групп, применение теории матриц к решению функциональных уравнений, применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений, предельный переход, дифференцирование.