Способы решения функциональных уравнений

3.1.3 Класс ограниченных функций

Пусть теперь функция f(x) ограничена с одной стороны (т. е. ограничена либо сверху, либо снизу) на каком-либо интервале (a, b). Нам нужно доказать, что линейными однородными функциями исчерпываются все решения (3.1.1) в данном классе. Мы исследуем решение уравнения (3.1.1), предполагая f ограниченной сверху (случай, когда f ограничена снизу, сводится к рассматриваемому случаю заменой f на -f).
Будем считать, что функция f ограничена сверху константой M, т. е. для всех . Рассмотрим вспомогательную функцию


g(x) = f(x) - x·f(1).

По доказанному выше g(x) = 0 при любом рациональном x. Кроме того, функция g(x) также является аддитивной. Действительно,

g(x + y) = f(x + y) - (x + y)·f(1) = f(x) + f(y) - xf(1) - yf(1) = g(x) + g(y).

Подставим y = r (r - рациональное) в равенство

g(x+y) = g(x)+g(y),

получим, учитывая g(r) = 0,

g(x+r) = g(x)+g(r) = g(x).

Значит, любое рациональное число r является периодом функции g(x).

Покажем теперь, что g(x) ограничена на интервале (a, b). Имеем



где ,

поскольку при .

Отсюда тогда следует, что g(x) ограничена сверху на всей вещественной оси. В самом деле, для любого действительного x существует рациональное число r такое, что r (a-x, b-x), т. е. a < x+r < b. Поэтому


g(x) = g(x+r) < M₁,

так как x + r (a, b), а на интервале (a, b) функция g ограничена числом M₁.

Сейчас уже можно утверждать, что g(x) = 0 для любого действительного x. Допустим это не так, т. е. для некоторого x₀


g(x₀) = A, A 0.

Поскольку для функции g(x), как для любой аддитивной функции, верно соотношение (4.1.2), то

g(nx₀) = ng(x₀) = nA

для любого целого n. Очевидно, что можно подобрать такое n (может быть, достаточно большое по абсолютной величине), что

nA > M₁, т.е. g(nx₀) > M₁.

Но функция g ограничена сверху константой M₁. Получаем противоречие. Значит, g(x) 0, откуда f(x) = x·f(1), что и требовалось.