Способы решения функциональных уравнений

3.1.4 Класс дифференцируемых функций

Известно, что если функция f (х) дифференцируема в точке х ₀, то она непрерывна в этой точке, Как показывает пример функции f(x)=|x|, обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Поэтому класс дифференцируемых функций уже класса непрерывных функций. Следовательно, решением уравнения Коши в классе дифференцируемых функций является линейная однородная функция. Тем не менее, метод решения уравнения Коши в предположении дифференцируемости f(x) представляет интерес ввиду его простоты. При фиксированном у R f (х + у) и f(х) + f (у) являются функциями переменной х R. Ввиду их равенства, равны и их производные (по переменной x!). Продифференцировав обе части равенства (3.1.1), получим


(3.1.4.1)

( , как производная постоянной). Равенство (3.1.4.1) выполняется для любых х R, у R, так как у можно было выбрать произвольно, Положив в(3.1.4.1) х = 0, придем к тождеству

для всех у R. Итак, - постоянная функция. Поэтому ее первообразная

f (х) = сх + b (3.1.4.2)

где b - некоторое действительное число. Проверка показывает, что (3.1.4.2) удовлетворяет (3.1.1) только при b = 0, с R.

Существуют и другие классы функций, в которых аддитивная функция неминуемо будет являться линейной однородной, однако найден пример аддитивной функции и в классе разрывных функций. Этот пример построил Гамель. Построенная функция обладает следующим свойством: на любом (произвольно выбранном) интервале (a, b), пусть даже сколь угодно малом, функция f(x) не ограничена, т. е. среди значений, которые данная функция принимает на этом интервале, имеется и такое, которое больше любого наперёд заданного положительного числа. Для построения такой функции Гамель ввёл множество G действительных чисел, называемое теперь базисом Гамеля, которое обладает свойством, что любое действительное число x представимо и при том единственным способом в виде


,

Произвольно задав значения f(x) в точках множества G, можно однозначно продолжить её на всю числовую прямую при помощи равенства

вытекающего из свойства аддитивной функции. Такими функциями исчерпываются все решения (3.1.1).

Приведем пример данной функции.

x = .

Покажем, что функция f(x) = удовлетворяет нашему уравнению.

f(x+y) = f( .+ ) = + = f(x) + f(y)

Очевидно, что она отлична от уже найденного нами решения. Предыдущее же решение единственное в классе непрерывных функций, следовательно, это решение является разрывным.