Способы решения функциональных уравнений



Download 374,05 Kb.
bet17/20
Sana31.03.2023
Hajmi374,05 Kb.
#923753
TuriКурсовая
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   20
Bog'liq
Курсовая работа На тему «Способы решения функциональных уравнений»

Пример 4.4.1 Найти функцию f, определенную при и удовлетворяющую уравнению


(4.4.1)


Решение. Отыщем подстановку, переводящую выражения, стоящие под знаком неизвестной функции f в уравнении (4.4.1), друг в друга.
Для этого положим


.

Отсюда



.

Кроме того,




.

Следовательно, подстановка - искомая. Уравнение (4.4.1) примет вид




. (4.4.2)

В уравнении (4.4.1) Подстановка переводит точки соответственно в точки . Кроме того, из характера подстановки вытекает . Поэтому в уравнении (4.4.2) . Область допустимых значений х в системе, составленной из уравнений (4.4.1) и (4.4.2), является пересечением соответствующих областей каждого из уравнений (4.4.1) и (4.4.2), т.е. . Исключая из этой системы , получим





Обозначив




,
получим


.

Из условия получаем , а также , что определяется видом подстановки.


Подстановка дает


.

Итак, функция





с областью определения является решением примера 4.4.1, что и подтверждается проверкой. Сужение области определения искомой функции удалением точек вызвано методом решения уравнения. Несложные вычисления показывают, что функция




, ,

удовлетворяет исходному уравнению.


В самом деле, полагая в (4.4.1) , получим .
Значения функции


, ,

в точках и 1 соответственно равны и удовлетворяют приведенному соотношению.


Более того, решение уравнения (4.4.1) в классе функций таких, что имеет вид



Уравнение (4.4.1) решено, так как найдена подстановка переводящая дробно-линейные функции и , получим друг в друга. На языке матриц это означает, что найдена матрица такая, что




АХ = kB; BX =lA,

где .


Возникает вопрос, для любых ли дробно-линейных функций существует аналогичная подстановка; другими словами, для любых ли матриц А и В существует матрица X, удовлетворяющая уравнениям


АХ = kВ, (4.4.3)
ВХ = lА (4.4.4)

при некоторых k, l, отличных от нуля.


Предполагая, что такая матрица существует, из уравнений (4.4.3) и (4.4.24) получим:


(lА)X = (lk)В, (ВХ)X = (lk)В,
BX2 = (lk)B (4.4.5)

Предположим, что функции, соответствующие матрицам А и В, отличны от констант. Тогда, как показано выше, для А и В существуют обратные матрицы. Умножим обе части равенства (4.4.5) слева на В-1. Получим




B-1BX2= B-1lkB; EX2 = (lk)E; X2 = mE, где m=lk

Найдем общий вид матрицы




такой, что , т.е.
,

при некотором m ≠ 0. Заметим, что х1x4 - х2х3 ≠ 0. Из правила умножения и условия равенства матриц имеем:



Вычитая из первого уравнения четвертое, получим т. е. , либо .


Если , то = 0 и = 0, что приводит к матрицам вида


или .

Если же то придем к матрице





Проверкой убеждаемся, что матрицы Х2 и Х3 удовлетворяют уравнению X2=mЕ при некотором m. Матрица Х3 при х1 = 0 дает X1.


Итак, матрицы вида


и

и только они удовлетворяют уравнению




X2 = mE, m ≠ 0.

Из (4.4.4) имеем


X = lВ-1А.

Поэтому, если матрица В-1А имеет вид Х2 или Х3, то она удовлетворяет каждому из уравнений (4.4.3), (4.4.4).


Теперь изложим один из способов решения функционального уравнения вида


(4.4.6)

где s(x), t(x), р (х) - некоторые данные функции,


Решая матричное уравнение вида


А = ВХ,
где , ,

получим




X = В-1А,

Если матрица X имеет вид , то подстановка в (4.4.6) даст второе уравнение относительно неизвестных




,

Если полученная система имеет решение, то из нее найдем выражение для . Последнее дает возможность найти f(x). Как обычно, обязательной частью решения является проверка. Случай





тривиален,




А = х1В,

т.е. выражения, стоящие в (4.4.6) под знаком f, совпадают.



Download 374,05 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   20




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish