Пример 4.4.1 Найти функцию f, определенную при и удовлетворяющую уравнению
(4.4.1)
Решение. Отыщем подстановку, переводящую выражения, стоящие под знаком неизвестной функции f в уравнении (4.4.1), друг в друга.
Для этого положим
.
Отсюда
.
Кроме того,
.
Следовательно, подстановка - искомая. Уравнение (4.4.1) примет вид
. (4.4.2)
В уравнении (4.4.1) Подстановка переводит точки соответственно в точки . Кроме того, из характера подстановки вытекает . Поэтому в уравнении (4.4.2) . Область допустимых значений х в системе, составленной из уравнений (4.4.1) и (4.4.2), является пересечением соответствующих областей каждого из уравнений (4.4.1) и (4.4.2), т.е. . Исключая из этой системы , получим
Обозначив
,
получим
.
Из условия получаем , а также , что определяется видом подстановки.
Подстановка дает
.
Итак, функция
с областью определения является решением примера 4.4.1, что и подтверждается проверкой. Сужение области определения искомой функции удалением точек вызвано методом решения уравнения. Несложные вычисления показывают, что функция
, ,
удовлетворяет исходному уравнению.
В самом деле, полагая в (4.4.1) , получим .
Значения функции
, ,
в точках и 1 соответственно равны и удовлетворяют приведенному соотношению.
Более того, решение уравнения (4.4.1) в классе функций таких, что имеет вид
Уравнение (4.4.1) решено, так как найдена подстановка переводящая дробно-линейные функции и , получим друг в друга. На языке матриц это означает, что найдена матрица такая, что
АХ = kB; BX =lA,
где .
Возникает вопрос, для любых ли дробно-линейных функций существует аналогичная подстановка; другими словами, для любых ли матриц А и В существует матрица X, удовлетворяющая уравнениям
АХ = kВ, (4.4.3)
ВХ = lА (4.4.4)
при некоторых k, l, отличных от нуля.
Предполагая, что такая матрица существует, из уравнений (4.4.3) и (4.4.24) получим:
(lА)X = (lk)В, (ВХ)X = (lk)В,
BX2 = (lk)B (4.4.5)
Предположим, что функции, соответствующие матрицам А и В, отличны от констант. Тогда, как показано выше, для А и В существуют обратные матрицы. Умножим обе части равенства (4.4.5) слева на В-1. Получим
B-1BX2= B-1lkB; EX2 = (lk)E; X2 = mE, где m=lk
Найдем общий вид матрицы
такой, что , т.е.
,
при некотором m ≠ 0. Заметим, что х1x4 - х2х3 ≠ 0. Из правила умножения и условия равенства матриц имеем:
Вычитая из первого уравнения четвертое, получим т. е. , либо .
Если , то = 0 и = 0, что приводит к матрицам вида
или .
Если же то придем к матрице
Проверкой убеждаемся, что матрицы Х2 и Х3 удовлетворяют уравнению X2=mЕ при некотором m. Матрица Х3 при х1 = 0 дает X1.
Итак, матрицы вида
и
и только они удовлетворяют уравнению
X2 = mE, m ≠ 0.
Из (4.4.4) имеем
X = lВ-1А.
Поэтому, если матрица В-1А имеет вид Х2 или Х3, то она удовлетворяет каждому из уравнений (4.4.3), (4.4.4).
Теперь изложим один из способов решения функционального уравнения вида
(4.4.6)
где s(x), t(x), р (х) - некоторые данные функции,
Решая матричное уравнение вида
А = ВХ,
где , ,
получим
X = В-1А,
Если матрица X имеет вид , то подстановка в (4.4.6) даст второе уравнение относительно неизвестных
,
Если полученная система имеет решение, то из нее найдем выражение для . Последнее дает возможность найти f(x). Как обычно, обязательной частью решения является проверка. Случай
тривиален,
А = х1В,
т.е. выражения, стоящие в (4.4.6) под знаком f, совпадают.
Do'stlaringiz bilan baham: |