Способы решения функциональных уравнений

1. Операции над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям над действительными числами

Подготовка школьного учителя математики безусловно предполагает, что он обретет навыки сознательного владения математическими понятиями, которые должен будет использовать по долгу службы. Однако не все так очевидно и категорично, ведь некоторые фундаментальные математические понятия (например, понятие действительного числа) слишком сложны. Что бы аккуратные их определения нашли себе место в школьном курсе математики. Тем не менее, положение в нем такого важного математического понятия, как функциональное уравнение, весьма уникально и даже парадоксально: использование функциональных уравнений в школьном курсе математики имеет место, а вот самого термина (имени) "Функциональное уравнение" - нет. Вот и получается,

что безымянное понятие (некий математический аноним!) присутствует на страницах школьных учебников по алгебре и началу анализа, как какой-нибудь герой невидимка, законспирированный до такой степени, что даже сам как использования этого понятия, обычно ускользает от всевидящего учительского ока. Но думается, что подобная не наблюдательность это - вина не столько учителя, сколько результат некоторых пробелов в его подготовке. Исправлению сложившегося положения, безусловно, послужили бы чтения студентам-"математикам" специального курса по функциональным уравнениям и методам их решения, проведения соответствующих практикумов по решению математических задач и, наконец, организация занятий соответствующей математике на курсах повышения квалификации учителей.
Ещё: даже несколько фраз, посвященных функциональных уравнениям и сказанных на лекциях по методике преподавания математики, так же способствовали бы исправлению сложившейся ситуации. Тем более, что функциональные уравнения хороший материал для изучения и иллюстрации некоторых свойств основных операций над числовыми функциями. Но пока функциональные уравнения забыты, увы, до такой степени, что уже делаются попытки даже сам термин "функциональные уравнения" использовать в качестве имени для "обычного" уравнения вида


f(x)=φ(x),

где f(x) и φ(x)- обозначения для некоторых функций.

Что бы подтвердить сказанное, прежде всего, напомним, что в школьном курсе математики после рассмотрения понятий функции и определения равных функций начинают заниматься основными ("арифметическими") операциями над функциями, в частности изучают свойства этих операций.
Примечательно, что этот процесс изучения "оперативных" свойств функций в рамках школьного курса математики включает в себя две линии, две тенденции:
) Главенствующую тенденции - рассмотрения и использование тех свойств основных операций над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям - "тезкам" над действительными числами;
2) Как бы второстепенную, теневую тенденцию - исследования тех свойств основных операций над функциями, которые существенно отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами.
Первая линия представлена в школьных учебниках по алгебре и началом анализа, разбором таких свойств, как ассоциативность и коммутативность сложения и умножения функций, дистрибутивность умножение относительно сложения, а так же ещё такими примечательными свойствами, как


+{(x;0)| }=f;
и

Эти последние три свойства показывают, что функции

+{(x;0)| и

очень похожи своими свойствами на действительные числа нуль и

единицу, правда, таких "нулей" и "единиц" столько же, сколько непустых подмножеств у множества действительных чисел R. И тем не менее, не мудрствуя лукаво, эти функции обозначили в элементарной математике соответственно символы 0 и 1, хотя точнее было бы обозначить и ведь их бесконечно много, причем каждая "обслуживает" "свой" набор функций с общей областью определения