Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

1. 
   Skalyar maydon
   

1.1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi
Kattalik tushunchasi nafaqat matematika fanida, balki fizika, kimyo kabi fanlarda ham qo’llaniladigan asosiy tushunchalardan biri hisoblanadi.
Ma’lumki, fizikada duch keladigan fizik kattaliklarning ko’pi ikki toifaga mos keladi. Ular,

• 
  skalyar kattaliklar;
  
• 
  vektor kattaliklar.
  

Skalyar kattalik nima ekanligini bilish uchun ba’zi misollarni keltirib o’tish yaxshidir. Vaqt, tezlik, harorat va hajm – bular skalyar kattaliklarga misol bo’ladi.
Ta’rif 1.1.1. O‘zining son qiymati bilan to‘la ifodalanadigan kattalik skalyar kattalik deyiladi.
Ta'rif 1.1.2. Fazodagi biror sohaning (yoki butun fazoning) har bir nuqtasida biror skalyar miqdorning son qiymati aniqlangan bo‘lsa, bu sohada skalyar maydon berilgan deyiladi.
Masalan, harorat maydoni, birjinslimas muhitda zichlik maydoni, kuch maydon potensiali ( soha sifatida fazoning biror bo’lagi, sirti yoki chizig’i bo'lishi mumkin).
Faraz qilaylik, soha biror jism bilan to’ldirilgan bo’lsin. sohaning biror M nuqtasida jism zichligi bo’lsin. Bunday maydonni jismning zichliklar maydoni deyish mumkin. dan boshqa nuqtada jism zichligi boshqa bo’lishi mumkin, yani jism sohada notekis taqsimlangan bo’ladi.
Ta'rif 1.1.3. Agar skalyar maydon sohaning barcha nuqtalarida bir xil bo’lsa, bunday maydonni bir jinsli maydon deyiladi. Agar skalyar maydonning qiymati bir nuqtadan boshqa nuqtaga ko‘chganda o‘zgarsa bunday maydonga bir jinslimas maydon deyiladi.
Ba’zan skalyar maydonning qiymati vaqtga qarab ham o‘zgarib borishi mumkin.
Ta'rif 1.1.4. Agar kattalik vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, bu kattalik statsionar (yoki barqaror) maydon deyiladi. Agar kattalik vaqtga bog‘liq bo‘lsa, bu kattalik nostatsionar maydon deyiladi.
Masalan, qizdirilgan jism temperaturasi tashqi muhit temperaturasiga qarab o‘zgaradi. Bunday maydonlar nostasionar skalyar maydonlarni tashkil qiladi. Biz faqat statsionar maydonlarni qarab chiqamiz. Shunday qilib, skalyar kattalik vaqtga bog‘liq bo‘lmasdan, balki faqat nuqtaning fazodagi o‘rniga bog‘liq bo‘ladi, ya’ni kattalik nuqtaning fazodagi funksiyasi sifatida qaraladi va ko‘rinishda belgilanadi. Bu funksiyani maydon funksiyasi deb ataymiz.
Agar fazoda koordinatalar sistemasini kiritsak, u holda har bir nuqta ma’lum koordinatalarga ega bo‘ladi va skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo‘ladi:
.
Bu holat skalyar maydonni ko‘p o'zgaruvchili funksiyalar nazariyasi yordamida tekshirish imkonini beradi.
Tekislikning qismida (yoki butun tekislikda) aniqlanadigan skalyar maydonni ham qarab chiqish mumkin, uning har bir nuqtasiga skalyar kattalikning son qiymati mos keladi, ya’ni
.
Agar tekislikning koordinatalar sistemasi kiritilsa, u holda har bir nuqta ma’lum koordinatalarga ega bo‘ladi va skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo‘ladi:
.
Maydon funksiyasi faqat ikki o'zgaruvchiga bog’liq bo’lsa bunday maydonlarga yassi maydon deyiladi.