Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

1-misol. bo’lsa, vektorning yo’naltiruvchi kosinuslarini toping.
Yechish:



2.3 Funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila
funksiya to’plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, , , va nuqtalar to‘plamga tegishli bolsin, bu yerda argumentlarning orttirmalari.
va

ayirmalarga funksiyaning nuqtadagi va o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy orttirmalari deyiladi.

ayirmaga funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasi deyiladi.
1-misol. funksiyaning nuqtadagi xususiy va to‘liq orttirmalarini va lar uchun topamiz:






Ta’rif 2.3.1. Agar nisbatining dagi limiti mavjud bo‘lsa, bu limitga funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi deyiladi va quyidagi ko‘rinishlarda belgilanadi:
.
Demak,
.
funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi ham shu kabi ta’riflanadi:
.
( ) o‘zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham funksiyaning xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi.
2-misol: 1. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini toping:
Yechish:

3-misol: funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini toping.
Yechish:
Yo‘nalish bo‘yicha hosila. Skalyar maydonning muhim tushunchalaridan biri berilgan yo‘nalish bo‘yicha hosiladir. Faraz qilaylik, uch o'lchovli fazoning biror G qismida skalyar maydon berilgan bo’lsin.
Bu maydondagi biror nuqtani va shu nuqtadan chiquvchi biror nurni qaraymiz. Bu nurning o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklarini orqali belgilaymiz. Agar birlik vektor bu nur bo‘yicha yo‘nalgan bo‘lsa, u holda qo‘yidagiga ega bo‘lamiz:
.
Faraz qilaylik, biror nuqta shu nurda yotgan bo‘lsin. va nuqtalar orasidagi masofani bilan belgilaymiz: . Skalyar maydon funksiyasi qiymatlari ayirmasini shu funksiyaning yo‘nalishda shu nuqtalardagi ortirmasi deb ataymiz va bilan belgilaymiz. U holda

yoki
.

Ta’rif 2.3.2. funksiyalarning yo‘nalish bo‘yicha nuqtadagi hosilasi deb

limitga aytiladi, bu limit tarzida belgilanadi. Shunday qilib,

Agar nuqta tayinlangan bo‘lsa, u holda hosilaning kattaligi faqat nurning yo‘nalishigagina bog‘liq bo‘ladi.
2.4 Yo‘nalish bo‘yicha hosilaning xossalari

1. 
   funksiyaning nuqtadagi vektor yo‘nalishi bo‘yicha o'zgarish tezligi ga teng.
   

Isbot: Haqiqatan ham, miqdor funksiyaning kesmadagi o'zgarishidir. miqdor skalyar funksiyaning vektor yo‘nalishidagi o‘rtacha o'zgarish tezligini aniqlaydi. esa, skalyar funksiyaning vektor yo'nalishidagi o‘zgarish tezligini beradi

2. 
   maydon nuqtada yo'nalish bo'yicha o'sishi uchun
   

Isbot: yo'nalishda o'suvchi bo’lsa, u holda

bo’ladi. Va aksincha

3. 
   maydon nuqtada yo'nalish bo'yicha kamayishi uchun
   

Isbot: yo'nalishda kamayuvchi bo’lsa, u holda

bo’ladi. Va aksincha.
Demak, yo‘nalish bo‘yicha hosila xususiy hosilalarga o‘xshash funksiyaning mazkur yo‘nalishdagi o‘zgarish tezligini xarakterlaydi, hosilaning ishorasi esa funksiya o‘zgarishining xarakterini aniqlaydi.
Berilgan yo‘nalish bo‘yicha hosilani hisoblash quyidagi teorema yordamida amalga oshiriladi.
Teorema 2.4.1. Agar funksiya differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning ixtiyoriy yo‘nalish bo‘yicha hosilasi mavjud va quyidagiga teng:

bu yerda vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari.
Isbot: funksiya teoremaning shartiga ko‘ra differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning nuqtadagi ortirmasini

ko‘rinishda yozish mumkin, bunda kattalik ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor, ya’ni .
Agar funksiya ortirmasi vektor yo‘nalishidagi nur bo‘ylab qaralsa, u holda


bo‘lishi ravshan. U holda (1) tenglik bunday ko‘rinishni oladi:

Tenglikning ikkala qismini ga bo‘lamiz va da limitga o‘tamiz. Natijada

Chunki

xususiy hosilalar va yo‘naltiruvchi kosinuslar ga bog‘liq bo‘lmaydi.
Shunday qilib, teorema isbotlandi.
Agar yo‘nalish koordinatalar o‘qining yo‘nalishlaridan biri bilan bir xil bo‘lsa, u holda bu yo‘nalish bo‘yicha hosila tegishli xususiy hosilaga teng, masalan, o‘qi bilan mos tushsa, ya’ni, bo‘lsa, u holda

bo‘ladi, shuning uchun va binobarin,

(2.4.2) formuladan ko‘rinadiki, yo‘nalishga qarama-qarshi yo‘nalish bo‘yicha hosila yo‘nalish bo‘yicha teskari ishora bilan olingan hosilaga teng.
Haqiqatan bunda, burchaklar ga o‘zgarishi kerak, natijada quyidagini hosil qilamiz:



Bu yo‘nalish qarama-qarshisiga o‘zgarganda funksiyaning o‘zgarish tezligining absolyut miqdori o‘zgarmaydi, uning faqat yo‘nalishi o‘zgaradi xolos.
Masalan, yo‘nalishda funksiya o‘ssa, u holda qarama-qarshi yo‘nalishda u kamayadi va aksincha.
Agar maydon tekis bo‘lsa, u holda nurning yo‘nalishi uning absissalar o‘qiga og‘ish burchagi bilan to‘la aniqlanadi. yo‘nalish bo‘yicha hosila uchun formulani tekis maydon holida (2) formuladan olish mumkin, bunda

deb olinadi. U holda

Yo‘nalish bo'yicha hosila tushunchasini biror egri chiziq yo'nalishi bo'yicha umumlashtirish ham mumkin. Bu holda yo‘naltiruvchi kosinuslar sifatida egri chiziqqa urinma vektori yo'nalishining yo‘naltiruvchi kosinuslari olinadi.