Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

11.4 Laplas operatorini slindrik va sferik koordinatalarda ifodalanishi
Avvalgi mavzuda biz Laplas operatorining Dekart koordinatalaridagi ifodasini hosil qilgan edik:

1. 
   Bu operatorning slindrik koordinatalar sistemasidagi ifodasini topamiz:
   

Buning uchun murakkab funksiyadan (bunda ) erkli o’zgaruvchilar bo’yicha olingan birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:





(3) ni ga ko’paytirib, (4) ni qo’shamiz:

Hosil bo’lgan ifodaga (1) ni qo’llab, quyidagi ifodani hosil qilamiz:

yoki

Bundan,

kelib chiqishi ravshan. Endi Laplas operatorini slindrik koordinatalarda yozish mumkin:

2. 
   Xuddi 1-banddagi kabi Laplas operatori uchun ifodani sferik koordinatalarda keltirib chiqarish mumkin:
   

murakkab funksiyadan erkli o’zgaruvchilar bo’yicha olingan birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:











(9) tenglikni ga (10) ni ga bo’lib, natijani (8) bilan qo’shib, quyidagi ifodani hosil qilamiz:


Bu ifoda (5) va (7) lar tadbiq qilingandan so’ng


ko’rinishni oladi. Bundan


kelib chiqadi. Endi Laplas operatorini sferik koordinatalar sistemasida yozish mumkin:

Tayanch iboralar:
Nabla (Gamilton) operatori, Ikkinchi tartibli amallar, Laplas tenglamasi, Laplas operatori, Laplas maydoni, slindrik koordinatalar, sferik koordinatalar.