Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

11.3 Laplas operatori. Laplas maydoni
Vektor maydonidagi ikkinchi tartibli amallar mavzusida keltirib chiqarilgan (11.2.3) tenglikdan quyidagini olamiz:

Bu simvol Laplas operatori deyiladi. Bu operatorni vektorning skalyar kvadrati tarzida qarash tabiiydir.
Haqiqatan ham

Shuning uchun (11.3.1) tenglik operator yordamida

ko‘rinishda yoziladi. Shuni aytib o‘tish kerakki,

tenglama Laplas tenglamasi deyiladi. shartni bajaruvchi skalyar maydon Laplas maydoni yoki garmonik maydon deyiladi.
Dekart koordinatalar sistemasida Laplas tenglamasi

ko'rinishda bo'ladi.
Garmonik (Laplas) vektor maydon. Agar vektor maydon bir vaqtda ham potensial ham solenoidal bo’lsa, u holda bunday maydonlarga garmonik vektor maydonlar deyiladi.
Garmonik vektor maydonning xossalari:

1. 
   Garmonik vektor maydon skalyar va vektor potensialga ega bo’ladi.
   

Ushbu xossaning isboti ta'rifdan kelib chiqadi. Chunki potensial maydon skalyar potensialga ega bo’ladi, solenoidal maydon esa vektor potensialga ega bo’ladi.

2. 
   skalyar potensial garmonik funksiya bo’ladi.
   

Isbot: Garmonik maydon - potensial maydon bo’lgani uchun skalyar potensial mavjud va ko‘rinishda bo’ladi. Ikkinchi tomondan garmonik maydon solenoidal bo’ladi, shuning uchun

bo’ladi. Shuning uchun garmonik maydonning potensiali Laplas tenglamasini qanoatlantiradi va garmonik funksiya bo’ladi.

3. 
   Garmonik vektor maydon uchun uning komponentalari lar garmonik funksiyalar bo’ladi.
   

Isbot: Ggarmonik maydon uchun uning potensialligidan


Garmonik vektor maydonning solenoidalligidan bo’ladi.
Yoki . Bu tenglikni bo‘yicha differensiallasak,

(11.3.2) tengliklarning ikkinchi va uchinchisidan foydalanib, quyidagini topamiz:

Ya’ni funksiya garmonik ekan. Xuddi shuningdek, va funksiyalar ham garmonik bo’lishini tekshirish mumkin.