Сборник задач с решениями по математике для слушателей зфтш «Перспектива» ишкольников 10-11 классов

Пример 20. .
. Нулевые точки . В интервалах
выражение имеет соответственно знаки
. Тогда для интервалов решаем уравнение
и принадлежат данным
интервалам и являются решениями. В интервале
и решаем уравнение или
. Решениями являются значения ,
принадлежащие указанному интервалу. Полный ответ: .


Пример 21. .
Выражение имеет нулевые точки и в интервалах имеет соответственно знаки . Для интервалов , а неравенство имеет вид и имеет решение . С учетом рассматриваемых интервалов решением являются промежутки . В интервале и решаем неравенство . Решениями будут промежутки . Общим решением системы является решение . Объединяем полученные решения и , и окончательный ответ: .

§6. Решение рациональных неравенств.

Решение рациональных неравенств выполняется по схеме: все слагаемые переносятся в левую часть (сравнение возможно только с нулевой правой частью). Затем левая часть приводится к общему знаменателю.

Находятся нулевые точки числителя и знаменателя, а числовая ось делится ими на интервалы. Если все линейные множители записаны в виде , то самый правый интервал имеет знак , а затем знаки в интервалах чередуются. Решение неравенства совпадает с интервалами того же знака, что и знак неравенства. Необходимо учесть, что множители в четных степенях не влияют на знак неравенства и могут быть полностью исключены из рассмотрения, если знак неравенства строгий; значение, соответствующее нулю, также является решением, если знак неравенства нестрогий.
Пример 22.
. Неравенство строгое, поэтому исключаем точку , а затем исключаем из рассмотрения . Интервалы имеют знаки . Значит решением являются промежутки . Точка не принадлежит указанным промежуткам.