Сборник задач с решениями по математике для слушателей зфтш «Перспектива» ишкольников 10-11 классов

§3. Системы линейных уравнений

Для решения системы трех линейных уравнений будем использовать метод исключения неизвестных.

Пример 12.
Исключим неизвестное из первого и второго уравнения: . Для этого достаточно сложить эти уравнения (левые и правые части). Уравнение или будет содержать только два неизвестных.

1. 
   Аналогично исключим из второго и третьего уравнений: . Первое уравнение умножим на 2 (обе части) для того, чтобы коэффициенты при были равны и
   

противоположны по знаку .
Складывая эти уравнения, получим или .

2. 
   Тогда из уравнения . Зная и из любого уравнения системы можно найти значение .
   

Пример 13.
Исключаем из уравнений один и два:
. Для этого умножим уравнение один на (-2):
. Суммируем уравнения и получаем .
Исключаем из второго и третьего уравнений:
. Суммируем их и получаем .
Решаем систему из уравнений , умножая первое
уравнение на 2 и суммируя: получим
. Подставляем и находим . Из
любого уравнения системы находим , подставляя
(первое уравнение: ).
§4. Системы линейных уравнений, содержащие параметр.

Для решения подобных задач необходимо знать, что линейная система вида (1) имеет единственное решение, при ; имеет множество решений, если и не имеет решений, если .

Во избежание ошибок при использовании метода подстановок, которым чаще всего и решается система (1), можно освоить несложный метод Крамера, использующий понятие определителя системы, обозначение и вычисление которого следующее: - определитель системы. Тогда неизвестные и находятся в виде , то есть в последовательно заменяется первый столбец (коэффициенты при ) или второй столбец (коэффициенты при ) на столбец свободных членов системы (правая часть системы). Вычисления определителей выполняют по тому же правилу, что и для : .

Решим методом Крамера систему без параметров: .

.

Проверка: 1) (верно)

2) (верно).


Пример 14.
Единственное решение система имеет при условии или . В результате или , то есть .
В помощь к выполнению подобных задач в контрольной работе решим следующую задачу.
Пример 15. . Найти значение параметра удовлетворяющее
условию .
Решение: Чтобы правильно найти , необходимо всегда систему записывать в стандартном виде (1), то есть: . ; .
Условие ведет к решению неравенства


.
Ответ: .

§5. Задачи, связанные с квадратным выражением.

Квадратное выражение используется в различного вида задачах: квадратных уравнениях, неравенствах, геометрическом представлении функции в виде параболы. Для правильного решения задач необходимо знать:

1) Уравнение всегда можно привести к виду . Тогда при ( - дискриминант уравнения) корни уравнения определяются условием: . Данные условия используют для нахождения корней по теореме Виета.
Пример 16. Найти корни квадратного уравнения по теореме Виета: х²-10х+9=0.
. Выбираем сомножители, удовлетворяющие условию , то есть .