Сборник задач с решениями по математике для слушателей зфтш «Перспектива» ишкольников 10-11 классов

2) Разложение на сомножители: возможно только при .
3) Выделение полного квадрата означает приведение к виду и выполняется по схеме: , где . Практически, необходимо из выражения вынести множитель , поделив на него все слагаемые, затем разделить коэффициент перед пополам и выделить квадрат суммы или разности в зависимости от знака перед , затем вычесть квадрат числа, закрытого в скобке и выполнить действия между числами, после этого умножить на вынесенный множитель полученные скобки и числовое значение вне скобок.
Пример 17. ; Пояснение: . Если перед множитель 1 , то выделение полного квадрата упрощается: ; .
4) Выделение полного квадрата помогает очень просто решить геометрическую задачу по построению параболы, которая является геометрическим образом квадратной функции . Вершина параболы находится в точке , если уравнение параболы привести к каноническому виду: . Выделение полного квадрата практически решает данную задачу: . Пример 18. . Кроме этого, можно использовать и известные формулы для значений: . Для полного построения параболы необходимо также найти точки пересечения с осями координат: с - корни уравнения ; с . Направление ветвей определяется знаком множителя перед . Ветви расположены вверх при и вниз при .
5) Решение квадратного неравенства проще выполнять с помощью схематического построения параболы, учитывая только направление ветвей и существование корней уравнения , то есть значений .
Пример 19. Решить квадратное неравенство: ;
. Решаем уравнение
. Можно было заметить, что
. Неравенство имеет решение ,
так как парабола расположена ветвями вверх и только касается оси
в одной точке .
6) Решение квадратных уравнений и неравенств, содержащих модуль
необходимо выполнять, убирая модуль по известным правилам,
изложенным в §2.