Samarqand davlat universiteti parabolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli

Mustaql ish topshiriqlari 
1.
 
Quyidagi chegaraviy masalalarni oshkor va oshkormas sxemalar yordamida sonli 
yeching, matematik paketlar (Maple, MathCad, MatLab, Matematica) yordamida 
sonli hisob dasturini tuzing, olingan natijalarni masalaning aniq yechimi bilan 
taqqoslang. Tegishli xulosalar chiqaring. 
1-mashq.
Aniq yechim: 
2-mashq. 
Aniq yechim: 
3-mashq. 
Aniq yechim: 
2. 
Qattiq moddada issiqlik uzatish jarayoni quyidagi issiqlik o‘zkazuvchanlik 
tenglamasi bilan ifodalanadi: 
Q
T
k
t
T
C





)]
(
grad
[
div

, bu yerda 

va 
C
– 
moddaning zichligi va issiqlik sig‘imi; 
T
– temperatura; 
k
– issiqlik 
o‘tkazuvchanlik koeffitsiyenti; 
Q
– issiqlik manbai zichligi. Sterjenning uzunligini 
L
= 1 m, chap uchidagi temperaturasini 
T
(
x
=0) = 
T
0
va o‘ng uchidagisi 

---

55 
temperaturasini 
T
(
x
=
L
) = 
T
L
, issiqlikning hajmiy manbai yo‘q, ya’ni 
Q
=0 deb, 
quyidagi jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida sterjen bo‘ylab 
T
(
x
,
t
) – 
temperatura taqsimotining o‘zgarishini hisoblang. 
Parametr 
Variantlar 
1 
2 
3 
4 
5 
6 

, kG/m
3 
2,8·10
3 
3,5·10
3 
3,5·10
3 
2,9·10
3 
3,0·10
3 
3,5·10
3 
C
, Dj/Kg·K 
880 
140 
250 
300 
330 
440 
K
, Bt/m·K 
75 
210 
100 
80 
150 
180 
T
0
, 
0
C 
0 
150 
20 
210 
35 
140 
T
L
, 
0
C 
100 
10 
120 
70 
65 
5 
3.

Ushbu 
u
t

u
xx

f
(
x
,
t
), 0<
x
<1, 
t
>0 tenglamaning 
u
(
x
,0)


(
x
), 0

x

1 boshlangʻich 
shartni va 
u
(0,
t
)

μ
(
t
), 
u
(1,
t
)

ν
(
t
), 
t
>0 chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi 
taqribiy yechimini har xil ayirmali sxemalardan foydalanib toping, hisoblashlarni 
dasturlash tillaridan (Pascal, Delphi, C++) biridan yoki MS Excel dan foydalanib 
bajaring, natijalarni matematik paketlardan (Maple, MathCad, MatLab, 
Matematica) biridan foydalanib topilgan aniq yechim bilan taqqoslang (bu yerda 
f
(
x
,
t
) funksiyani 

(
x
), 
μ
(
t
) va 
ν
(
t
) funksiyalarning kombinatsiyasi tarzida tanlab 
olishingiz mumkin).
 
№ 

(
x
) 
μ
(
t
) 
ν
(
t
) 
1. 
3-2
x
1-6
t
2t 
2. 
3
x
(
x
+1) 
t

1 
5
t
+9.6 
3. 
4.2+ln(
x
+0.4) 2.8+
t
1.2-3
t
4. 
cos2
x
2
t
t
-0.932 
5. 
8
x
(2-
x
) 
t
-1 
t
+3.52 
6. 
4-lg(
x
+0.4) 
2.4 
t
+1 
7. 
6(0.55
x
+0.03) 
t
+1.03 
2.35-
t
8. 
3
x
(1-
t
)+0.2 
3.2 
t
+0.68 
9. 
sin
x
+0.08 
2.08+2
t
2.6446 
10. cos(2
x
+0.19) 
1.53 
2.1798 
11. 2
x
(
x
+0.2)-5 
2
t
+1.4 
t+1.36 
12. lg(
x
+2.6)+4 
1.25+
t
1.9-2
t
13. 2sin(
x
+0.45) 
3.43-4
t
0.84-
t
14. 3.3+
x
(
x
+0.4) 
6.3+t 
6
t
+0.9 
15. 
x
(
x
+1)+0.2 
6-t 
t

0.84 
16. 5
x
(0.3+2
x
) 
2 
6
t
+1.9 
17. 2sin(
x
+0.48) 
1.21 
3
t
+8.2 
18. 2sin(
x
+0.02) 
3
t
-1.02 
0.581 
19. 3cos(
x
+0.48) 
6
t
+0.87 0.4713 
20. 5lg(2.63-
x
) 
3-1.4
t
0.3075 
21. 4.5-
x
(1-
x
) 
3(0.5-
t
) 1.26 
22. 5cos(
x
+0.845) 6(
t
+0.1) 0.1205 
23. 3lg(2.42+
x
) 
0.3838 
6(0.08-
t
) 
24. 1.6+
x
(0.8-
x
) 
0.6 
3(0.24+
t
) 
25. 3cos(
x
+0.66) 
3
t
+0.79 0.3058 
26. 2lg(1.43+2
x
) 
0.1553 
3(
t
+0.14) 
27. 8.9+2
x
(1-
x
) 
0.3-2
t
1.38 
28. 3lg(1.95+
x
) 
0.29-6
t
0.4065 
29. 2+cos(
x
+0.55) 1.705 
0.817+3
t
30. 6
x
(1-
x
)-5.2 
0.2 
2(
t
+0.22) 
 

---

56 
Maple matematik paketi yordamida ushbu 
u
t

u
xx

f
(
x
,
t
), 0<
x
<1, 
t
>0 tenglama, 
u
(
x
,0)


(
x
), 0

x

1 boshlangʻich shart va 
u
(0,
t
)

μ
(
t
), 
u
(1,
t
)

ν
(
t
), 
t
>0 chegaraviy 
shartlar bilan berilgan chegaraviy masalaning aniq yechimini topishga namunalar: 
1-variant 
2-variant 
 
4.
Ushbu 
u
t

u
xx

F
(
u
,
u
x
)+
f
(
x
,
t
) nochiziqli tenglama, 
u
(
x
,0)


(
x
) boshlangʻich shart va 
jadvaldagi chegaraviy shartlar bilan berilgan chegaraviy masalani quyidagi jadval 
variantlari uchun har xil ayirmali sxemalardan foydalanib, taqribiy yeching 
(hisoblashlarni dasturlash tillari yoki matematik paketlardan foydalanib bajaring): 
 
№ 
F
(
u
,
u
x
) 
f
(
x,t
) 
φ
(
x
) 
Chap chegara
Oʻng chegara
1. 
u
x


x
t
t


sin
cos
0 
t
u
x
sin
0


t
u
x
x
sin
1


2. 
u 
+ 
u
x
x
t
sin
)
2
1
(



0 
t
u
x
x


0
t
u
x
x



1
3. 
u 
- 
u
x


x
t
t


sin
cos
x 
0
0


x
u
t
u
x
x
cos
1


4. 
u
3
x
t
cos
)
2
1
(



0 
t
u
x
x


0
t
u
u
x
x





5. 
u
2
+ 
u
x


t
t
sin
cos
2


x
cos
x
cos
0
0


x
x
u
t
u
u
x
x
cos





6. 
u
2
- 
u
x
t
e



2
2
x
0
0




x
x
u
u
t
x
e
u



1

---

57 
7. 
u + u
2
x
e
t
cos


x
cos
t
x
x
e
u
u





0
0



x
x
u
8. 
u + u
3
x
t
e

x
e
0
0




x
x
u
u
t
x
x
e
u
u
4
2
ln



 
5.
Ushbu 


)
,
(
1
t
r
g
u
r
r
u
r
r
t



tenglama, 
u
(
r
,0)


(
r
) boshlangʻich shart va 
jadvaldagi chegaraviy shartlar bilan berilgan chegaraviy masalani quyidagi jadval 
variantlari uchun har xil ayirmali sxemalardan foydalanib, taqribiy yeching 
(hisoblashlarni dasturlash tillari yoki matematik paketlardan foydalanib bajaring): 
 
№ 
g
(
r,t
) 
φ
(
r
) 
Chap chegara
Oʻng chegara
1. 












r
e
r
e
r
t
1
r
e
r

0
0


r
r
u


1
2
1






e
e
u
u
t
r
r
2. 












r
r
r
r
e
t
sin
2
1
cos
r
r

sin
0
0


r
r
u
t
r
e
u






3. 
t
t
r
sin
4
cos
2



0 
0
0


r
r
u
t
u
r
sin
2
1



4. 









t
r
t
r
cos
1
sin
r
0
1




r
r
u
u
t
u
u
r
r
cos
3
2




5. 
t
r
t
r
cos
1
sin


r
r

sin
0
0


r
r
u
t
r
e
u




6. 










r
r
r
e
t
sin
1
cos
r
0
1




r
r
u
u
t
u
u
r
r
cos
2



 
Sinov savollari 
 
1.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar klassifikatsiyasini tushuntiring. 
2.
Qanday turdagi tenglamalar parabolik tipda deb aytiladi? 
3.
Chegaraviy masalaning qoʻyilishini tushuntiring. 
4.
Chegaraviy shartlar va ularning turlarini tushuntiring. 
5.
Matematik modeli parabolik tipdagi tenglamaga keltiriladigan fizik-mexanik ja-
rayonlarga misollar keltiring. 
6.
Toʻrlar usulining asosiy mazmuni nimadan iborat? 
7.
Ayirmali sxema deganda nimani tushunasiz. 
8.
Parabolik tipdagi tenglamaning chekli ayirmali approksimatsiyasini tushuntiring. 
9.
Chekli ayirmali sxema shablonlari deganda nimani tushunasiz? 
10.
Oshkor va oshkormas sxemalarni tushuntiring. 
11.
Oltinuqtali parametrik sxema, Frankel-Dyufort sxemasi, Richardson sxemasi, 
markaziy toʻrtnuqtali oshkor sxema, Alen-Chen sxemasi, nomarkaziy toʻrtnuqtali 
oshkor sxema, Saulyev sxemasini tushuntiring. 
12.
Uch qatlamli uch nuqtali ayirmali sxemalar deganda nimani tushunasiz? 

---

58 
13.
Chekli ayirmali sxema ustivorligi daganda nimani tushunasiz? 
14.
Approksimatsiya xatoligi deganda nimani tushunasiz? 
15.
Chegaraviy shartlarning chekli ayirmali approksimatsiyasini tushuntiring. 
16.
Parabolik tipdagi tenglama uchun oshkor konservativ usullar: birinchi tartibli 
oshkor usul, Krank-Nikolson usuli, sakrab qadamlash usuli, Dyufor–Frankelning 
oshkor usulini va ulardagi ayirmali sxemalarning ustivorlik shartlarini tushuntir-
ing. 
17.
Silindrik koordinatalar sistemasida yozilgan tenglama uchun ayirmali sxemani 
qurishni tushuntiring. 
18.
Parabolik tipdagi tenglamani Maple matematik paket yordamida sonli yechini 
qanday tushunasiz? 
19.
Parabolik tipdagi tenglamani Mathcad matematik paket yordamida sonli yechini 
qanday tushunasiz? 
20.
Parabolik tipdagi tenglamani Matlab matematik paket yordamida sonli yechini 
qanday tushunasiz? 
FOYDALANILGAN VA MUSTAQIL O‘ZLASHTIRISHGA OID 
ADABIYOTLAR ROʻYXATI 
 
1.
Abdirashidov A., Suyarshayev M.M. Gidrodinamikaning asosiy masalalarini 
sonli yechish usullari. Uslubiy qo‘llanma. - Samarqand: SamDU nashri, 2014. -
92 bet. 
2.
Articolo G.A. Partial differential equations and boundary value problems with 
Maple. – 2nd ed./ 2009, Elsevier Inc. All rights reserved. - 733 p. 
3.
Richard L. Burden and J. Douglas Faires. Numerical Analysis. Ninth Edition, 
Boston, USA, 2011. – 895 p. 
4.
L.Ridgway Scott. Numerical Analysis. Princeton University Press, 2011.- 342 p. 
5.
Абдухамидов А.У., Худойназаров С. Ҳисоблаш усулларидан амалиёт 
ва лаборатория машғулотлари. – Тошкент: Ўқитувчи, 1995. – 240 б. 
6.
Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики 
в пакетах Mathcad, Mathlab, Maple. – М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с. 
7.
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М.: 
Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с. 
8.
Бахвалов Н. С., Корнев А. А., Чижонков Е. В. Численные методы. Решения 
задач и упражнения. – М.: Изд-во Дрофа, 2009. – 400 с. 
9.
Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах 
и упражнениях. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 240 с. 
10.
Беляев Н.М., Рядно А.А. Метод нестационарной теплопроводности. - М.: 
Высшая школа. 1978. – 328 с. 

---

59 
11.
Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – М.: Наука, 1962. – Т. 1. 
– 464 с. – Т. 2. – 639 с.
12.
Берковский Б.М., Ноготов Е.Ф. Разностные методы исследования задач 
теплообмена. – Минск: Наука и техника, 1976. – 141 с.
13.
Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2009. 
– 848 с. 
14.
Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.
15.
Воробьева Г.К., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной мате-
матике. – М: Высшая школа, 1990. – 210 c. 
16.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: 
Наука, 1966. – 695 с.
17.
Жидков В.Н. Вычислительная математика. – М.: Академия, 2010. – 208 с. 
18.
Исраилов М.И. Ҳисоблаш усуллари. – Тошкент: Ўқитувчи, - 1-қисм, 
2003. - 450 б.; - 2-қисм, 2008. – 340 б. 
19.
Калиткин Н.Н. Численные методы. – С.Пб.: Изд-во БХВ-Петербург, 2011. – 
592 с. 
20.
Калиткин Н.Н., Альшина Е.А. Численные методы: в 2 кн. Кн. 1. Числен-
ный анализ. - М.: Издательский центр «Академия», 2013. - 304 с. 
21.
Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Численные методы: в 2 кн. Кн. 2. Методы 
математической физики.- М.: Издательский центр «Академия»,2013.-304 с.
22.
Кантор С.А. Основы вычислительной математики: Учебное пособие. – 
Барнаул: Изд-во Алт. госуд. технич. ун-та, 2010. – 357 с. 
23.
Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислителная математика в примерах и за-
дачах. – М.: Наука, 2008. – 368 с. 
24.
Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. 
– М.: Наука, 1976. – Т. 1. – 302 с.
25.
Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование 
Matlab. 3-издание: Пер. с англ.–М.: Изд-во дом «Вильямс», 2001. - 720 с. 
26.
Патанкар С.В. Численное решение задач теплопроводности и конвективно-
го теплообмена при течении в каналах. - М.: Изд-о МЭИ, 2003. – 312 с. 
27.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления (том II). -
М.: Интеграл-пресс, 2002. – 410 с. 
28.
Поттер Д. Вычислительные методы в физике. – М.: Мир, 1975. – 392 с. 
29.
Рихтмайер Р. Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. - М.: 
Издательство Мир, 1972. - 380 с. 
30.
Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. - М.: Высшая школа. 
2003. - 255с. 
31.
Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1989. – 656 с.

---

60 
32.
Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. – М.: 
Едиториал УРСС, 2003. – 782 с.
33.
Самарский А.А., Гулин А.В.Численные методы. – М.: Наука,1989. – 432 с.
 
34.
Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – 
М.: Наука, 1978. – 592 с.
 
35.
Сборник задач по методам вычислений. Учебное пособие / Под ред. 
П.И.Монастырного. – 2-е изд. – Мн.: Университецкое, 2000. – 311 c.
 
36.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: 
Наука, 1977. – 736 с.
 
37.
Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987. – 318 с.
38.
Шампайн Л.Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений с использованием MATLAB: Учебное пособие / 
Пер с англ. М.А.Макарова. – СПб.: Изд-во «Лань», 2009. – 304 с.
39.
Половко А.М., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. – СПб.: БХВ-
Петербург, 2005. – 320 с. 
40.
www.edu.ru; www.edu.uz; www.exponenta.ru; www.intuit.ru; www.ziyonet.uz; 
www.techlibrary.ru 

---

61 
ILOVALAR 
1-ilova 
Parabolik tipdagi bir oʻlchovli issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini oshkormas 
ayirmali sxema yordamida sonli yechishning Pascal ABC dasturi matni
uses crt; const mf=500; 
type vector=array[1..mf] of real; 
var {Dasturda ishlatiladigan oʻzgaruvchilar tavsifi} 
i, j, N : integer; T, alfa, beta : vector; 
ai, bi, ci, fi : real; lamda, ro, c, h, tau : real; 
Tl, T0, Tr, L, t_end, time : real; f, g : text; 
begin clrscr; 
writeln(' Klaviatura orqali kiritiladigan zaruriy parametrlar:'); 
Write(' Fazoviy tugunlar soni, N = '); Readln(N); 
Write(' Hisob vaqtining tugash momenti, t_end = '); Readln(t_end); 
Write(' Plastinkaning qalinligi, L = '); Readln(L); 
Write(' Plastinka materialining issiqlik utkazuvchanlik koeffisiyenti, lamda = '); 
Readln(lamda); 
Write(' Plastinka materialining zichligi, ro = '); Readln(ro); 
Write(' Plastinka materialining issiqlik sigimi, c = '); Readln(c); 
Write(' Boshlangich temperatura, T0 = '); Readln(T0); 
Write(' Plastinkaning x=0 chegarasidagi temperatura, Tl = '); Readln(Tl); 
Write(' Plastinkaning x=L chegarasidagi temperatura, Tr = '); Readln(Tr); 
{Fazpviy koordinata boʻyicha toʻrning hisob qadamini aniqlash} h:=L/(N-1); 
{Vaqt boʻyicha toʻrning hisob qadamini aniqlash} tau:=t_end/100.0; 
{Boshlangʻich vaqt momentida temperatura maydonini aniqlash} 
for i:= 1 to N do T[i]:=T0; 
{Nostatsionat issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini integrallash} time:=0; 
while timebegin 
{vaqt oʻzgaruvchisini bir qadamga oshiramiz} time:=time+tau; 
{Chap chegaraviy shartdan foydalanib boshlangʻich progonka koeffisiyentlarini 
aniqlash} alfa[1]:=0.0; beta[1]:=Tl; 
{Progonka koeffisiyentlarini aniqlash uchun sikl operatori} 
for i:= 2 to N-1 do 
begin {ai, bi, ci, fi - uch diagonalli matritsali CHATS ni kanonik shaklda ifodalash 
uchun koeffisiyentlar} 
ai:=lamda/sqr(h); bi:=2.0*lamda/sqr(h)+ro*c/tau; 
ci:=lamda/sqr(h); fi:=-ro*c*T[i]/tau; 
{alfa[i], beta[i] - progonka koeffisiyentlari} 

---

62 
alfa[i]:=ai/(bi-ci*alfa[i-1]); beta[i]:=(ci*beta[i-1]-fi)/(bi-ci*alfa[i-1]); 
end; 
{Oʻng chegarada temperaturaning qiymatini aniqlash} T[N]:=Tr; 
{Noma'lum temperaturalar maydonini aniqlash} 
for i:= N-1 downto 1 do T[i]:=alfa[i]*T[i+1]+beta[i]; end; {Shartli sikl yakuni} 
{Hisob natijalarini faylga yozish} Assign(f,'Res11.txt'); Rewrite(f); 
Writeln(f,'Plastinkaning qalinligi L = ',L:6:4); 
Writeln(f,'Koordinata buyicha tugunlar soni N = ',N); 
Writeln(f,'Plastinka materialining issiqlik utkazuvchanlik',' koeffisiyenti lamda = 
',lamda:6:4); 
Writeln(f,'Plastinka materialining zichligi ro = ',ro:6:4); 
Writeln(f,'Plastinka materialining issiqlik sigʻimi c = ',c:6:4); 
Writeln(f,'Boshlangich temperatura T0 = ',T0:6:4); 
Writeln(f,'x = 0 chegaradagi temperatura, Tl = ',Tl:6:4); 
Writeln(f,'x = L chegaradagi temperatur, Tr = ',Tr:6:4); 
Writeln(f,'Koordinata buyicha qadam h = ',h:6:4); 
Writeln(f,'Vaqt buyicha qadam tau = ',tau:6:4); 
Writeln(f,'Temperatura maydoni hisoblangan vaqt momenti t = ',t_end:6:4); 
close(f); Assign(g,'Ris11.txt'); Rewrite(g); 
for i:=1 to N do writeln(g,' ',h*(i-1):6:3,' ',T[i]:8:5); 
close(g); end. 
2-ilova 
Parabolik tipdagi bir oʻlchovli issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini oshkor 
ayirmali sxema yordamida sonli yechishning yechishning Pascal ABC dasturi 
matni 
uses crt; const mf=500;
type vector=array[0..mf] of real;
var {dasturda ishlatiladigan oʻzgaruvchilarni tavsiflash}
i, j, N : integer; T, TT : vector; a, lamda, ro, c, h, tau : real;
Tl, T0, Tr, L, t_end, time : real; f, g : text;
begin clrscr;
{klaviatura yordamida kerakli ma’lumotlar kiritiladi }
Writeln('Fazoviy koordinata boʻyicha oʻzgaruvchilar sonini kiriting, N=');
Readln(N);
Writeln('Hisob vaqtining tugashini kiriting, t_end='); Readln(t_end);
Writeln('Plastinkaning qalinligini kiriting, L='); Readln(L);
Writeln('Plastinka materialining issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyentini kiriting,
Lamda='); Readln(lamda);

---

63 
Writeln('Plastinka materialining zichligini kiriting, ro='); Readln(ro);
Writeln('Plastinka materialining issiqlik sigʻimini kiriting, c='); Readln(c);
Writeln('Boshlangʻich temperaturani kiriting, T0'); Readln(T0);
Writeln(х=0 chegaradagi temperaturani kiriting, Tl='); Readln(Tl);
Writeln(' х=L chegaradagi temperaturani kiriting, Tr='); Readln(Tr);
{issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyentini aniqlaymiz} a:=lamda/(ro*c);
{fazoviy koordinata boʻyicha toʻrning hisob qadamini aniqlaymiz} h:=L/(N-1);
{ustivorlik shartiga asoslanib, vaqt boʻyicha hisob qadamini aniqlaymiz}
tau:=0.25*sqr(h)/a;
{boshlangʻich vaqt momentida temperatura maydonini aniqlaymiz}
for i:= 2 to N-1 do T[i]:=T0;
{chegaralardagi temperaturaning qiymatlarini aniqlaymiz} T[1]:=Tl; T[N]:=Tr;
{nostatsionar issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini integrallaymiz} time:=0;
while timebegin
{vaqt oʻzgaruvchisini bir qadamga oshiramiz} time:=time+tau;
{vaqtning oldingi qadamida temperatura maydonini saqlab qolamiz}
for i:= 1 to N do TT[i]:=T[i];
{noma’lum temperatura maydonini (12) formula boʻyicha aniqlaymiz}
for i:= 2 to N-1 do T[i]:=TT[i]+a*tau/sqr(h)*(TT[i+1]-2.0*TT[i]+TT[i-1]); end;
{Hisob natijalarini faylga yozamiz} Assign(f,'res.txt'); Rewrite(f);
Writeln(f,'Plastinkaning qalinligi L = ',L:6:4);
Writeln(f,'Fazoviy koordinata boʻyicha tugunlar soni N = ',N);
Writeln(f,'Plastinka materialining issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyenti lamda =
',lamda:6:4);
Writeln(f,'Plastinka materialining zichligi ro = ',ro:6:4);
Writeln(f,'Plastinka materialining issiqlik sigʻimi с = ',c:6:4);
Writeln(f,'Boshlangʻich temperatura T0 = ',T0:6:4);
Writeln(f,' x = 0 chegaradagi temperatura, Tl = ',Tl:6:4);
Writeln(f,' x = L chegaradagi temperatura, Tr = ',Tr:6:4);
Writeln(f,'Hisoblashlar x fazoviy koordinata boʻyicha h qadam bilan olingan, h = 
',h:6:4);
Writeln(f,' Hisoblashlar t vaqty koordinata boʻyicha tau qadam bilan olingan, tau = 
',tau:6:4);
Writeln(f,'Temperatura maydoni hisoblangan vaqt momenti t = ',t_end:6:4);
close(f); Assign(g,'tempr.txt'); Rewrite(g);
for i:=1 to N do writeln(g,' ',h*(i-1):6:3,' ',T[i]:8:5);
close(g); end. 
 

---

64 
3-ilova 
Parabolik tipdagi har xil chegaraviy sharli (bir chetida issiqlik oqimi, ikkinchi 
chetida esa tashqi muhit ta’siri berilgan) issiqlik oʻtkazuvchanlik masalasini 
oshkormas ayirmali sxema sonli yechishning Pascal ABC dasturi matni 
uses crt; const mf=500;
type vector=array[1..mf] of real;
var {dasturda ishlatiladigan oʻzgaruvchilarni tavsiflash}
i, j, N : integer; T, alfa, beta : vector;
ai, bi, ci, fi : real; a, lamda, ro, c, h, tau : real;
q, kapa, Te : real; T0, L, t_end, time : real;
f, g : text;
begin clrscr;
{klaviatura yordamida kerakli ma’lumotlar kiritiladi}
Writeln('Fazoviy koordinata boʻyicha oʻzgaruvchilar sonini kiriting, N=');
Readln(N);
Writeln('Hisob vaqtining tugashini kiriting, t_end='); Readln(t_end);
Writeln('Plastinkaning qalinligini kiriting, L='); Readln(L);
Writeln('Plastinka materialining issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyentini kiriting,
Lamda='); Readln(lamda);
Writeln(' Plastinka materialining zichligini kiriting, roʻ); Readln(ro);
Writeln('Plastinka materialining issiqlik sigʻimini kiriting, c='); Readln(c);
Writeln('Issiqlik oqimi zichligini kiriting, q='); Readln(q);
Writeln('Issiqlik almashinish koeffisiyentini kiriting, kapa'); Readln(kapa);
Writeln('Tashqi muhitning temperaturasini kiriting, Te'); Readln(Te);
Writeln('Boshlangʻich temperaturani kiriting, T0'); Readln(T0);
{fazoviy koordinata boʻyicha toʻrning hisob qadamini aniqlaymiz} h:=L/(N-1);
{Iissiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyentini aniqlaymiz} a:=lamda/(ro*c);
{ustivorlik shartiga asoslanib, vaqt boʻyicha hisob qadamini aniqlaymiz}
tau:=t_end/100.0;
{boshlangʻich vaqt momentida temperatura maydonini aniqlaymiz}
for i:= 1 to N do T[i]:=T0;
{Nostatsionat issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini integrallash} time:=0;
while timebegin
{vaqt oʻzgaruvchisini bir qadamga oshiramiz} time:=time+tau;
{formuladan foydalanib, chap chegaraviy shart asosida boshlangʻich progonka 
koeffisiyentlarini aniqlaymiz}
alfa[1]:=2.0*a*tau/(2.0*a*tau+sqr(h));
beta[1]:=(sqr(h)*T[1]+2.0*a*tau*h*q/lamda)/(2.0*a*tau+sqr(h));

---

65 
{(8) formula boʻyicha progonka koeffisiyentlarini aniqlash uchun sikl parametri}
for i:= 2 to N-1 do
begin {ai, bi, ci, fi – uch diagonalli matritsali CHATS ni kanonik shaklda ifodalash 
uchun koeffisiyentlar}
ai:=lamda/sqr(h); bi:=2.0*lamda/sqr(h)+ro*c/tau;
ci:=lamda/sqr(h); fi:=-ro*c*T[i]/tau;
{alfa[i], beta[i] – progonka koeffisiyentlari}
alfa[i]:=ai/(bi-ci*alfa[i-1]); beta[i]:=(ci*beta[i-1]-fi)/(bi-ci*alfa[i-1]);
end;
{formuladan foydalanib, oʻng chegaraviy shart asosida boshlangʻich progonka 
koeffisiyentlarini aniqlaymiz}
T[N]:=(lamda*sqr(h)*T[N]+2.0*a*tau*(lamda*beta[N-1]+kapa*h*Te))
/(lamda*sqr(h)+2.0*a*tau*(lamda*(1-alfa[N-1])+kapa*h));
{formuladan foydalanib noma’lum temperatura maydonini aniqlaymiz}
for i:= N-1 downto 1 do T[i]:=alfa[i]*T[i+1]+beta[i];
end; {oldindan shartli sikl operatori tugadi}
{Hisob natijalarini faylga yozamiz} Assign(f,'res.txt'); Rewrite(f);
Writeln(f,'Plastinkaning qalinligi L = ',L:6:4);
Writeln(f,'Koordinata boʻyicha tugunlar soni N = ',N);
Writeln(f,' Plastinka materialining issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyenti lamda =
',lamda:6:4);
Writeln(f,' Plastinka materialining zichligi ro = ',ro:6:4);
Writeln(f,'Plastinka materialining issiqlik sigʻimi с = ',c:6:4);
Writeln(f,'Boshlangʻich temperatura T0 = ',T0:6:4);
Writeln(f,'Issiqlik oqimining zichligi q = ',q:6:4);
Writeln(f,'Issiqlik almashinish koeffisiyenti kapa = ',kapa:6:4);
Writeln(f,'Tashqi muhitning temperaturasi Te = ',Te:6:4);
Writeln(f,'Hisoblash natijalari olingan koordinata qadami h = ',h:6:4);
Writeln(f,'Hisoblash natijalari olingan vaqt qadami tau = ',tau:6:4);
Writeln(f,'Temperatura maydoni hisoblangan vaqt momenti t = ',t_end:6:4);
close(f); Assign(g,'tempr.txt'); Rewrite(g);
for i:=1 to N do writeln(g,' ',h*(i-1):10:8,' ',T[i]:8:5);
close(g); end. 
4-ilova 
Parabolik tipdagi har xil chegaraviy sharli (har ikkala chetida tashqi muhit 
ta’siri berilgan) issiqlik oʻtkazuvchanlik masalasini oshkormas oshkormas sxe-
ma yordamida sonli yechishning Pascal ABC dasturi matni 
uses crt; const mf=500;
type vector=array[1..mf] of real;

---

66 
var {dasturda ishlatiladigan oʻzgaruvchilarni tavsiflash}
i, j, N : integer; T, alfa, beta : vector;
ai, bi, ci, fi : real; a, lamda, ro, c, h, tau : real;
kapa1, kapa2, Te1, Te2 : real; T0, L, t_end, time : real;
f, g : text; begin clrscr;
{klaviatura yordamida kerakli ma’lumotlar kiritiladi }
Writeln('Fazoviy koordinata boʻyicha oʻzgaruvchilar sonini kiriting, N=');
Readln(N);
Writeln('Hisob vaqtining tugashini kiriting, t_end='); Readln(t_end);
Writeln('Plastinkaning qalinligini kiriting, L='); Readln(L);
Writeln('Plastinka materialining issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyentini kiriting,
Lamda='); Readln(lamda);
Writeln(' Plastinka materialining zichligini kiriting, roʻ); Readln(ro);
Writeln('Plastinka materialining issiqlik sigʻimini kiriting, c='); Readln(c);
Writeln(' х = 0 chegaradagi issiqlik almashinish koeffisiyentini kiriting, kapa1');
Readln(kapa1);
Writeln(' х = L chegaradagi issiqlik almashinish koeffisiyentini kiriting, kapa2');
Readln(kapa2);
Writeln('x=0 chegaraga nisbatan tashqi muhitning temperaturasini kiriting, Te1');
Readln(Te1);
Writeln('х=L chegaraga nisbatan tashqi muhitning temperaturasini kiriting, Te2');
Readln(Te2);
Writeln('Boshlangʻich temperaturani kiriting, T0='); Readln(T0);
{fazoviy koordinata boʻyicha toʻrning hisob qadamini aniqlaymiz} h:=L/(N-1);
{Iissiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyentini aniqlaymiz} a:=lamda/(ro*c);
{ustivorlik shartiga asoslanib, vaqt boʻyicha hisob qadamini aniqlaymiz}
tau:=t_end/100.0;
{boshlangʻich vaqt momentida temperatura maydonini aniqlaymiz}
for i:= 1 to N do T[i]:=T0;
{Nostatsionat issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini integrallash} time:=0;
while timebegin
{vaqt oʻzgaruvchisini bir qadamga oshiramiz} time:=time+tau;
{formuladan foydalanib, chap chegaraviy shart asosida boshlangʻich progonka 
koeffisiyentlarini aniqlaymiz}
alfa[1]:=2.0*a*tau*lamda/(2.0*a*tau*(lamda+kapa1*h)+lamda*sqr(h));
beta[1]:=(lamda*sqr(h)*T[1]+2.0*a*tau*kapa1*h*Te1)
/(2.0*a*tau*(lamda+kapa1*h)+lamda*sqr(h));
{formula boʻyicha progonka koeffisiyentlarini aniqlash uchun sikl parametri}

---

67 
for i:= 2 to N-1 do
begin {ai, bi, ci, fi – uch diagonalli matritsali CHATS ni kanonik shaklda ifodalash 
uchun koeffisiyentlar}
ai:=lamda/sqr(h); bi:=2.0*lamda/sqr(h)+ro*c/tau;
ci:=lamda/sqr(h); fi:=-ro*c*T[i]/tau;
{alfa[i], beta[i] – progonka koeffisiyentlari}
alfa[i]:=ai/(bi-ci*alfa[i-1]); beta[i]:=(ci*beta[i-1]-fi)/(bi-ci*alfa[i-1]);
end;
{oʻng chegaradagi temperatura qiymatini hisoblaymiz}
T[N]:=(lamda*sqr(h)*T[N]+2.0*a*tau*(lamda*beta[N-1]+kapa2*h*Te2))
/(lamda*sqr(h)+2.0*a*tau*(lamda*(1-alfa[N-1])+kapa2*h));
{formuladan foydalanib noma’lum temperatura maydonini aniqlaymiz}
for i:= N-1 downto 1 do T[i]:=alfa[i]*T[i+1]+beta[i];
end; {oldindan shartli sikl opratori tugadi}
{hisob natijalarini faylga yozamiz}
Assign(f,'res.txt'); Rewrite(f);
Writeln(f,'Plastinkaning qalinligi L = ',L:6:4);
Writeln(f,'Koordinata boʻyicha tugunlar soni N = ',N);
Writeln(f,' Plastinka materialining issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffisiyenti lamda =
',lamda:6:4);
Writeln(f,' Plastinka materialining zichligi ro = ',ro:6:4);
Writeln(f,'Plastinka materialining issiqlik sigʻimi с = ',c:6:4);
Writeln(f,'Boshlangʻich temperatura T0 = ',T0:6:4);
Writeln(f,'Issiqlik almashinish koeffisiyenti kapa1 = ',kapa1:6:4);
Writeln(f,'Issiqlik almashinish koeffisiyenti kapa2 = ',kapa2:6:4);
Writeln(f,'Tashqi muhitning temperaturasi Te1 = ',Te1:6:4);
Writeln(f,'Tashqi muhitning temperaturasi Te2 = ',Te2:6:4);
Writeln(f,'Hisoblash natijalari olingan koordinata qadami h = ',h:6:4);
Writeln(f,'Hisoblash natijalari olingan vaqt qadami tau = ',tau:6:4);
Writeln(f,' Temperatura maydoni hisoblangan vaqt momenti t = ',t_end:6:4);
close(f); Assign(g,'tempr.txt'); Rewrite(g);
for i:=1 to N do writeln(g,' ',h*(i-1):10:8,' ',T[i]:8:5);
close(g); end. 
5-ilova 
Birjinsli jism uchun ikki oʻlchovli issiqlik oʻtkazuvchanlik masalasini oshkormas 
ayirmali sxema yordamida sonli yechishning Pascal ABC dasturi matni 
uses crt; const mf=102; 
type vector1=array[1..mf] of real; vector2=array[1..mf,1..mf] of real; 

---

68 
var{dasturda ishlatiladigan oʻzgaruvchilarni tavsiflash} 
i, j, Nx, Ny : integer; T : vector2; alfa, beta : vector1; ai, bi, ci, fi : real; 
a, lamda, ro, c : real; hx, hy, tau, t_end, time : real; 
T0, L, H, Th, Tc : real; f, g : text; 
begin clrscr; 
{zaruriy kiritiladigan ma’lumotlar klabiatura orqali kiritiladi} 
Writeln('Ox oʻq boʻyicha plastinkadagi fazoviy tugunlar sonini kiriting, Nx='); 
Readln(Nx); 
Writeln('Oy oʻq boʻyicha plastinkadagi fazoviy tugunlar sonini kiriting, Ny='); 
Readln(Ny); 
Writeln('Hisob jarayonining tugash vaqti qiymatini kiriting, t_end='); Readln(t_end); 
Writeln('Plastinkaning uzunkigini kiriting, L='); Readln(L); 
Writeln('Plastinkaning qalinligini kiriting, H='); Readln(H); 
Writeln('Plastinka materialining issiqlik oʻtkauvchanlik koeffisiyentini kiriting, 
Lamda='); Readln(lamda); 
Writeln('Plastinka materialining zichligini kiriting, ro='); Readln(ro); 
Writeln('Plastinka materialining issiqlik sigimini kiriting, c='); Readln(c); 
Writeln('Hisob sohasining x = 0 chegarasidagi temperaturani kiriting, Th='); 
Readln(Th); 
Writeln('Hisob sohasining x = L chegarasidagi temperaturani kiriting, Tc='); 
Readln(Tc); 
Writeln('Boshlangʻich temperaturani kiriting, T0='); Readln(T0); 
{Turning fazoviy koordinatalar buyicha hisob qadamlarini aniqlaymiz} 
hx:=L/(Nx-1); hy:=H/(Ny-1); 
{Issiqlik utkazuvchanlik koeffisiyentini aniqlaymiz} a:=lamda/(ro*c); 
{Turning vaqt buyicha hisob qadamini aniqlaymiz} tau:=t_end/100.0; 
{Boshlangich vaqt momentida temperatura maydonini aniqlaymiz} 
for i:= 1 to Nx do for j:= 1 to Ny do T[i,j]:=T0; 
{Nostatsionar issiqlik utkazuvchanlik tenglamasini integrallaymiz} time:=0; 
while timebegin 
{vaqtning uzgaruvchisi qiymatini τ qadamga oshiramiz} time:=time+tau; 
{Vaqtning oraliq qatlamida temperature maydonini aniqlash uchun Ox uq yunalishida 
chiziqli algebraic tenglamalar sistemasini yechamiz} 
for j:=1 to Ny do 
begin 
{Chapchegaraviy shart asosida boshlangich progonka koeffisiyentlarini aniqlaymiz} 
alfa[1]:=0.0; beta[1]:=Th; 

---

69 
{formula yordamida progonka koeffisiyentlarini aniqlash uchun ishlatiladigan para-
metrli sikl} 
for i:= 2 to Nx-1 do 
begin 
{ai, bi, ci, fi – uchdiagonalli matritsali chiziqli algebraic tenglamalar sistemasini ka-
nonik koʻrinishda ifodalash koeffisiyentlari} 
ai:=lamda/sqr(hx); bi:=2.0*lamda/sqr(hx)+ro*c/tau; 
ci:=lamda/sqr(hx); fi:=-ro*c*T[i,j]/tau; 
{alfa[i], beta[i] – progonka koeffiyentlari} 
alfa[i]:=ai/(bi-ci*alfa[i-1]); beta[i]:=(ci*beta[i-1]-fi)/(bi-ci*alfa[i-1]); 
end; 
{Ung chegaraviy shart asosida ung chegarada temperaturaning qiymatini aniqlash} 
T[Nx,j]:=Tc; 
{Vaqtning oraliq qatlamida temperatura maydonini formuladan foydalanib aniqlay-
miz} 
for i:= Nx-1 downto 1 do T[i,j]:=alfa[i]*T[i+1,j]+beta[i];
end; 
{Vaqtning butun qiymatli qatlamida temperature maydonini aniqlash uchun chiziqli 
algebraik tenglamalar sistemasini Oy uq yunalishida yechamiz} 
for i:=2 to Nx-1 do 
begin 
{q1 = 0 bulgan hol uchun formuladan foydalanib, quyi chegaraviy shart asosida bosh-
langich progonka koeffisiyentlarini aniqlaymiz} 
alfa[1]:=2.0*a*tau/(2.0*a*tau+sqr(hy)); 
beta[1]:=sqr(hy)*T[i,1]/(2.0*a*tau+sqr(hy)); 
{(4.6) formula yordamida progonka koeffisiyentlarini aniqlash uchun ishlatiladigan 
parametrli sikl} 
for j:= 2 to Ny-1 do 
begin 
{ai, bi, ci, fi – uchdiagonalli matritsali chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini ka-
nonik koʻrinishda ifodalash koeffisiyentlari} 
ai:=lamda/sqr(hy); bi:=2.0*lamda/sqr(hy)+ro*c/tau; 
ci:=lamda/sqr(hy); fi:=-ro*c*T[i,j]/tau; 
{alfa[j], beta[j] – progonka koeffiyentlari} 
alfa[j]:=ai/(bi-ci*alfa[j-1]); beta[j]:=(ci*beta[j-1]-fi)/(bi-ci*alfa[j-1]); 
end; 
{ q2 = 0 bulgan hol uchun formuladan foydalanib, yuqori chegarada temperaturaning 
qiymatini aniqlaymiz} 

---

70 
T[i,Ny]:=(2.0*a*tau*beta[Ny-1]+sqr(hy)*T[i,Ny])/(2.0*a*tau*(1.0-alfa[Ny-
1])+sqr(hy)); 
{Vaqtning oraliq qatlamida temperatura maydonini formuladan foydalanib aniqlay-
miz} 
for j:= Ny-1 downto 1 do T[i,j]:=alfa[j]*T[i,j+1]+beta[j]; 
end; 
end; {sharli sikl operatorining tugashi} 
{Hisob natijalarini faylga chiqarish} Assign(f,'res.txt'); Rewrite(f); 
Writeln(f,'Plastinkaning uzunligi L = ',L:6:4);
Writeln(f, 'Plastinkaning qalinligiH = ',H:6:4); 
Writeln(f,'Ox oʻq boʻyicha plastinkadagi fazoviy tugunlar soni Nx = ',Nx); 
Writeln(f,'Oy oʻq boʻyicha plastinkadagi fazoviy tugunlar soni Ny = ',Ny); 
Writeln(f,'Plastinka materialining issiqlik oʻtkauvchanlik koeffisiyenti lamda = 
',lamda:6:4); 
Writeln(f,'Plastinka materialining zichligi ro = ',ro:6:4); 
Writeln(f,'Plastinka materialiningissiqlik sigimi’,c:6:4); 
Writeln(f,'Boshlangich temperatura T0 = ',T0:6:4); 
Writeln(f,'Hisob sohasining x = 0 chegarasidagi temperatura Th = ',Th:6:4); 
Writeln(f,'Hisob sohasining x = L chegarasidagi temperatura Tc = ',Tc:6:4); 
Writeln(f,'x koordinata buyicha hx qadam bilan hisoblash natijalari hx = ',hx:6:4); 
Writeln(f,'y - koordinata buyicha hx qadam bilan hisoblab olingan natijalar hy = 
',hy:6:4); 
Writeln(f,'Natijalar olingan vaqt qadami tau = ',tau:6:4); 
Writeln(f,'Berilgan vaqt momentidagi temperatura maydoni t = ',t_end:6:4); 
close(f); Assign(g,'tempr.txt'); Rewrite(g); 
for i:=1 to Nx do for j:=1 to Ny do
writeln(g,' ',hx*(i-1):10:8,' ',hy*(j-1):10:8,' ',T[i,j]:8:5); 
close(g); end
 

---

71 
Ablakul Abdirashidov 
Akmaljon Ablakulovich Abdurashidov 
O’tkir Anjiboyevich Nishonov 
Feruza Ulugbekovna Kasimova 
 
 
PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALI 
CHEGARAVIY MASALALARNI SONLI YECHISH

 
 
Uslubiy ko‘rsatmalar
Muharrir:
Saydaliyeva N. 
Musahhih:
Raxmatullayev N. 
Texn. muharrir:
Ro‘ziboyev M. 
 
 
2008 yil 19-iyun 68-buyruq. 
2018 yil 4-iyunda noshirlik boʻlimiga qabul qilindi. 
2018 yil 18-iyunda original maketdan bosishga ruxsat etildi. 
Bichimi 60x84, 
1
/
32
. «Times New Roman» garniturasi. 
Ofset qogʻozi. Shartli bosma tabogʻi – 4,5. 
Nashriyot hisob tabogʻi – 4,0. 
Adadi 25 nusxa. 57-buyurtma. 
_________________________________________ 
SamDU bosmaxonasida chop etildi. 
140104, Samarqand sh., Universitet xiyoboni, 15 

---

72