Samarqand davlat universiteti parabolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli



Download 2,78 Mb.
Pdf ko'rish
bet23/27
Sana28.01.2022
Hajmi2,78 Mb.
#414997
1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   27
Bog'liq
AbdirashidovA.ParaboliktipdagitenglamalichegaraviymasalalarnisonliyechishUK2018

 


36 
 
Bundan tashqari, Maple matematik paketning maxsus sonli usullaridan ham 
foydalanib, masalani sonli yechish mumkin. Bunga namuna sifatida quyida misol 
keltirilgan: 


37 
 
 
6-masala
. Quyidagi chegaraviy masalani (
u
,
v
) noma’lumlarga nisbatan tengla-
malar sistemasi uchun sonli yechish talab qilinadi:
,
5
,
0
5
,
0
x
xx
t
v
u
u


,
5
,
0
5
,
0
x
xx
t
u
v
v


0
,
2
0



t
x


0
,
0
)
,
2
(
)
,
0
(



t
t
u
t
u

, (3.9) 
0
),
exp(
)
,
2
(
)
,
0
(




t
t
t
v
t
v



2
0
,
cos
)
0
,
(
;
sin
)
0
,
(




x
x
x
v
x
x
u



38 
Yechish
. Bu chegaraviy masala ham xuddi yuqoridagi masala kabi sonli 
yechildi, hisob natijalarining 
x

[0;
 
2

], 
t

[0;3] kesmalardagi grafigi 3.5-rasmda tas-
virlangan. 
u
(
x
,
t

a

v
(
x
,
t

b

3.5-rasm. Chegaraviy masala yechimi. 
Shunday qilib, ushbu masalalar yechimlari orqali (3.6) oshkor sxemali chekli 
ayirmali tenglamaning yetarlicha aniqlikda toʻgʻri natijalar berishi koʻrsatildi. 
Yuqoridagi 5-masaladagidek, bu masalani ham 
x

[0;
 
3], 
t

[0;3] kesmalarda 
Maple matematik paketning pdsolve funksiyasidan foydalanib sonli yechish mumkin: 
 


39 
 
 


40 
3.2. Parabolik tipdagi tenglamalarni Mathcad yordamida sonli yechish. 
Yechimi oldindan ma’lum boʻlgan chegaraviy masalani qaraylik: 
,
t
>0, 0 <
x
<


u
(0,
t
)=
u
(

,
t
)=0, 
t
>0, 
u
(
x
,0) = sin(
x
), 0 <
x
<

. (3.10) 
Bu chegaraviy masalaning analitik yechimi 
u
(
x
,
t
)=exp(-
t
)sin(
x
). 
Tenglamardagi differensial operatorlarni ularning chekli-ayirmali analoglari bi-
lan almashturamiz, bunda ushbu oshkormas sxemalardan foydalanamiz: 
Xususiy hosilalarni mos chekli ayirmalar bilan almashtirish natijasida quyidagi 
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 
(3.11) 
Xususiy hosilalarni approksimatsiyalashning tanlangan sxemasini grafik 
koʻrinishda 3.6-rasmdagidek tasvirlash mumkin. 
3.6-rasm foydalanilayotgan toʻrtnuqtali oshkormas ayirmali sxemada yangi vaqt 
qatlamida uchta nuqta va eski vaqt qatlamida esa bitta nuqta olinayotganini yaqqol 
koʻrsatadi. 
a
 
b
 
c
3.6-rasm. Toʻrtnuqtali oshkor (
a
), oshkormas (
b
) va
beshnuqtali «xoch» sxema shabloni. 


41 
Hosilalarni bunday approksimatsiyalash uslubi oshkormas deb atalishiga sabab 
vaqtning yangi qatlamidagi temperaturalar maydoni oshkormas ifodalangan, ya’ni 
ularni aniqlash uchun berilgan tenglamalar sistemasini yechish zarur. 
Hosil boʻlgan tenglamalar sistemasini plastinkalarning ichki tugun nuqtalari 
uchun quyidagicha umumiy koʻrinishga keltirish mumkin: 
, (3.12) 
.
Bunday tenglamalar ikkinchi tartibli uch nuqtali deb ataladi. (3.12) sistema uch 
diagonalli tuzilmaga ega. Shuning uchun nostatsionar masala qaralayotganligi sababli 
(3.12) sistemani har bir vaqt qadamida yechish zarur. 
Faraz qilaylik, shunday 
va 
(
) sonlar ketma-ketligi 
mavjudki, ular uchun 
(3.13) 
tenglik oʻrinli, ya’ni ikkinchi tartibli uch nuqtali (3,12) tenglama birinchi tartibli ikki 
nuqtali (3.13) tenglamaga aylanadi. (3.13) tenglikda indeksni bittaga kamaytiramiz va 
hosil boʻlgan ushbu
ifodani (3.12) tenglamaga qoʻyamiz: 
Bu yerdan esa 
Oxirgi tenglik (3.13) koʻrinishida va u bilan aynan mos boladi, agar barcha 
lar uchun quyidagi munisabatalar bajarilsa: 
(3.14) 
Bu yerdagi barcha 
va 
larni aniqlash uchun chap chegaraviy shartlardan 
topiladigan 
va 
larni bilishimiz zarur. 


42 
Endi (3.13) formula boʻyicha ketma-ket 
larni topish 
mumkin, agar faqatgina oʻng chegaraviy shardan 
topilgan boʻlsa. 
Shunday qilib, (3.12) koʻrinishdagi tenglamaning yechimini yuqoridagidek 
izlash uslubi haydash (progonka) usuli deb atalib, uchta formula boʻyicha hisoblash-
larga olib kelinadi: (3.14) formulalar boʻyicha progonka koeffisiyentlari deb ataluv-
chi 
va 
(
) lar (toʻgʻri progonka) va keyin esa (3.14) formula 
boʻyicha 
(
) noma’lumlar topiladi (teskari progonka). 
Progonka usulini muvaffaqiyatli qoʻllash uchun hisoblashlar jarayonida nolga 
boʻlish holati paydo boʻlmasligi va katta oʻlchamli sistemalarda yaxlitlash xatoligi tez 
oshib ketmasligi lozim. 
Progonkani korrekt deb ataymiz, agar (3.14) formulalarda progonka 
koeffisiyentlarining maxrajlari nolga aylanmasa va uni ustovor deb aytamiz, agar 
barcha 
lar uchun 
shart bajarilsa. 
(3.14) tenglamalar progonkasining korrektligi va ustivorligining yetarli sharti
va
(3.15) 
ushbu usulning koʻplam tadbiqlarida oʻz-oʻzidan bajariladi. 
(3.11) sistemaga qaytib, progonka koeffisiyentlarini aniqlaymiz va olingan 
sistemani yechishning toʻla algoritmini tuzamiz. 
Ma’lumki, 
da 
, u holda 

Bu yerdan esa

Xuddi shunday, 
da 
, u holda 

Bu yerdan esa

Progonka koeffisiyentlari (3.14) formulalardan hisoblanadi. 
Shunday qilib, (3.10) differensial masalani approksimatsiyalovchi ayirmali 
munosabatlar quyidagi koʻrinishga keladi: 


43 
(3.16) 
(3.17) 
(3.10) differensial masalaning approksimatsiyasi (3.16) - (3.17) boʻlib, 
t
vaqt 
boʻyicha birinchi va 
x
fazoviy koordinata boʻyicha ikkinchi tartibli aniqlikda bajaril-
gan. Bu oshkormas ayirmali sxema absolyut ustivor, ya’ni (3.10) chegaraviy masalani 
vaqt boʻyicha ixtiyoriy ayirmali qadam bilan integrallash mumkin. Vaqt boʻyicha 
qadam shunday tanlanadiki, toʻla kuzatuv vaqtining intervali hech boʻlmaganda 
kamida 10 ta qadamga boʻlinishi lozim. 
Mathcad dasturi natijalari esa quyidagicha (3.7-rasm). 
1-masala.
 
Xuddi shunday, yechimi oldindan ma’lum boʻlgan quyidagi yana bir 
chegaraviy masalani qaraylik: 
u
t
= 0.5
u
xx
-0.5
u
,
t
>0, 0 <
x
<


u
(0,
t
)=
u
(

,
t
)=0, 
t
>0, 
u
(
x
,0) = sin(
x
), 0 <
x
<


Bu chegaraviy masalaning ham analitik yechimi 
u
(
x
,
t
)=exp(-
t
)sin(
x
). 
3.7-rasm. 


44 
Bu chegaraviy masalani yechishning Mathcad matematik paketidagi dasturi va 
uning natijalari esa quyidagicha (3.8-rasm): 

Download 2,78 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   27




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish