Samarqand davlat universiteti parabolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli

 

---

10 
1.3. Bir oʻlchovli parabolik tipdagi tenglamani sonli yechishning har xil 
chekli ayirmali approksimatsiyalari. 
Quyida bir oʻlchovli issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi misolida parabolik 
tipdagi xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari bilan 
tanishiladi. Buning uchun quyidagi 
differensial chegaraviy masala
qaraladi: 
(1.3) 
Tavsiya qilinadigan variantlar misollarida berilgan dastlabki ma’lumotlardan, 
ayirmali usulni va toʻr parametrlarini (vaqt va koordinata boʻyicha qadamlarni) tan-
lashdan bogʻliq holda bu tenglama sonli yechimining oʻzgarish xususiyatlari qaraladi. 
Bir oʻlchovli issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini sonli yechish uchun quyidagi 
ayirmali sxemalar qaraladi: 
1)
oltinuqtali parametrik sxema; 
2)
Frankel-Dyufort sxemasi; 
3)
Richardson sxemasi; 
4)
markaziy toʻrtnuqtali oshkor sxema; 
5)
Alen-Chen sxemasi; 
6)
nomarkaziy toʻrtnuqtali oshkor sxema; 
7)
Saulyev sxemasi. 
Bir jinsli tenlamaning olingan taqribiy (sonli) yechimini uning bir qator test ma-
salalar uchun olingan aniq yechimi bilan taqqoslash mumkin. 
Qaralayotgan (1.3) masala uchun 
toʻrli soha
quyidagicha: 
bu yerda 
- toʻr funksiyaning 
tugunga tegishli komponentasi; - 
vaqt boʻyicha qadam; 
; 
; - koordinata boʻyicha qadam; 
 
Ayirmali masala
(
ayirmali sxema
)
ga misol
. Qaralayotgan differensial masala 
uchun mumkin boʻlgan ayirmali sxemalardan biri (oshkor sxema) quyidagicha yozi-
ladi: 
, (1.4) 

---

11 
, 
bu yerda 
Ayirmali sxemaning shabloni
. Qaralayotgan ayirmali sxema berilgan 
m
va 
p
lar-
da 
sxemaning shabloni
deb ataluvchi shaklni hosil qiluvchi toʻrning toʻrt nuqtasidagi 
yechim qiymatlarini bogʻlaydi (1.1-rasm). 
Ustivorlikning spektral belgisi
. Juda koʻplab evolyutsion (vaqtdan bogʻliq) ma-
salalar sinfi uchun ustivorlikka tekshirishni oʻzgarmas koeffisiyentli ayirmali masala 
holi uchun qoʻllaniladigan spektral belgi orqali quyidagicha amalga oshirish mumkin. 
Chegaraviy masala - Koshi masalasidagi 
ayirmali tenglamaning oʻng tarafini nol bilan, 
funksiyani 
garmonika bilan almashtiramiz 
va bitta fazoviy oʻzgaruvchili masala uchun 
yechimni quyidagicha izlaymiz: 
bu yerda 

- ixtiyoriy son, 
1.1-rasm. Toʻrtnuqtali oshkor 
sxema shabloni. 
Ayirmali sxemaning ustivorligi uchun 
spektr 
doirada 
yotishi zarur, bunda parametr qadamdan bogʻliq emas. Endi 
ifodani qaralayotgan ayirmali tenglamaga qoʻyib, quyidagi tenglamaga kelamiz: 
yoki
Ayirmali sxema ustivor deyiladi, agar 
shart bajarilsa, ya’ni 
larni 
shunday tanlash kerakki, 
boʻlsin. 
Agar (1.4) sxema quyidagicha yozilsa, u holda u 
aniqligi oshirilgan ayirmali 
sxema 
deyiladi: 




2
/
1
1
2
/
1
2
/
1
1
1
1
1
10
12
4
6
1














p
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p
m
f