Samarqand davlat universiteti huzuridagi

2.2.3. Mustaqil ta’lim uchun ko’rsatma (namuna)

1. Quyida bir o’zgaruvchili va ko’p o’zgaruvchili funksiyalar uchun Veyershtrass teoremalari va isbotlari keltirilgan. Teoremalarning bayonidagi, isbotidagi umumilik va farqlarni aniqlang. Isbotlash g’oyasidagi o’xshashlik nimada? Ikkala isbotni bir xil usulga keltirish mumkinmi?

Bir o’zgaruvchili funksiya uchun

Ko’p o’zgaruvchili funksiya uchun

1-teorema (Veyershtrassningbirinchiteoremasi). Agary=f(x) funksiya [a;b] segmentdauzluksizbo‘lsa, uholdafunksiyashusegmentdachegaralanganbo‘ladi. Isboti. Isbotni teskaridan faraz qilish usuli bilan olib boramiz. Faraz qilaylik, f(x) funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsin. Ya’ni, qanday natural n son olmaylik, shunday xn[a;b] nuqta topilib, f(xn)>n bo‘ladi. Shu shart bilan [a;b] segmentdan olingan x1, x2, x3,. . ., xn,. . . ketma-ketlikni qaraylik. Bu ketma-ketlik chegaralangan bo‘lgani uchun, Bolsano-Veyershtrass lemmasiga ko‘ra undan yaqinlashuvchi { } ketma-ketlik ajratib olish mumkin: x0[a;b]. Teorema shartiga ko‘ra f(x) funksiya xo nuqtada uzluksiz. Shuning uchun f( )f(x0) bo‘ladi. Ikkinchi tomondan, bu ketma-ketlikning qurilishiga ko‘ra f( )>nk bo‘lib, f( )+ ekani kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik, farazimizning noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi. Teoremaning ikkinchi qismi ham shu kabi isbotlanadi.