Samarqand davlat universiteti huzuridagi

1-teorema (Veyershtrassning birinchi teoremasi). Agar funksiya yopiq chegaralangan D to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, u shu to‘plamda chegaralangan bo‘ladi. Isbot. Yozuvlarni soddalashtirish maqsadida teorema isbotini ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun keltiramiz. Bu yerda keltirilgan mulohazalarni hech bir o‘zgarishsiz m o‘zgaruvchili funksiya uchun ham o‘tkazish mumkin. Teskaridan faraz qilamiz: berilgan f(x,y) funksiya D to‘plamda uzluksiz. lekin chegaralanmagan bo‘lsin. Teorema sharti bo‘yicha D chegaralangan to‘plam, demak, bu to‘plamni o‘zida saqlaydigan va tomonlari koordinata o‘qlariga parallel bo‘lgan K1 kvadrat mavjud. Bu kvadratni to‘rtta teng kvadratga bo‘lamiz. Bu kvadratlarning kamida bittasi D to‘plamning f(x,y) funksiya chegaralanmagan qismini o‘zida saqlaydi (aks holda f(x,y) funksiya chegaralangan bo‘ladi). Shunday kvadratlardan birini tanlab olamiz va K2 bilan belgilaymiz. K2 kvadratni yana to‘rtta teng kvadratga bo‘lamiz, ulardan kamida biri D to‘plamning f(x,y) funksiya chegaralanmagan qismini o‘zida saqlaydi. Bu jarayonni cheksiz davom ettirib, {Kn} ichma-ich joylashgan kvadratlar ketma-ketligiga ega bolamiz. Ichma-ich joylashgan kvadratlar ketma-ketligi haqidagi teoremaga asosan, bu kvadratlarning barchasi uchun umumiy bo‘lgan nuqta mavjud. f(x,y) funksiya har bir Kn kvadratda chegaralanmagan, demak, har bir kvadratda D ga tegishli cheksiz ko‘p nuqtalar mavjud (chekli to‘plamda funksiya chegaralangan bo‘ladi). Bundan nuqtaning ixtiyoriy kvadrat atrofida D to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalari mavjud, chunki Kn kvadrat tomonlari n da o ga intilishi va Kn (n=1, 2,…) ekanligidan, yetarlicha katta n uchun Kn nuqtaning kvadrat atrofida yotadi. Shunday qilib, nuqta D to‘plamning limit nuqtasi, D yopiqligidan D bo‘ladi. Ikkinchi tomondan f(x,y) funksiya D da, demak nuqtada ham uzluksiz. U holda nuqtaning kvadrat -atrofi topilib, bunda funksiya chegaralangan bo‘ladi. Ammo biror n nomerdan Kn kvadrat nuqtaning kvadrat -atrofida yotadi. Ziddiyat vujudga keldi: Kn kvadratda funksiya chegaralanmagan, Kn kvadratni o‘zida saqlaydigan nuqtaning kvadrat -atrofida funksiya chegaralangan. Bu ziddiyat teoremaning o‘rinli ekanligini isbotlaydi.

2. Quyidagi teorema bayonini va isbotini “Baliq skleti” grafik organayzeri orqali tahlil qiling. Tepasiga teorema shartlaridagi asosiy tushunchalarni yozing. Past qismiga shu tushunchalarning ta’riflarini, xossalarini yozing. Teorema isbotida qaysi xossalardan foydalanilgan? Teorema isbotini qadamlarga ajrating, sxematik ko’rinishda yozing.