Samarqand davlat universiteti huzuridagi

O’quv mashg’ulotining maqsadi: Yuqorida ko’rsatilgan ko’p o’zgaruvchili va ikki o’zgaruvchili funksiyalar, funksiyaning sath chiziqlari va sirtlari haqida ma’lumot berish, tasavvurlarni kengaytirish.

1.2-ilova

2.1- ilova

Reja

Ko’p o’zgaruvchili funksiya, ta’rifi misollar

Ikki o’zgaruvchili funksiyaning grafigi

Sath chiziqlari va sirtlari

Tayanch tushunchalar:

Matematik model, ko’p ozgaruvchili funksiya, ikki o’zgaruvchili funksiya grafigi, sath chiziqlari va sirtlari.

2.2-ilova

Мавзу бўйича адабиётлар рўйхати

1. Т.Азларов, Х.Мансуров, “Математик анализ”, I-том, Т. “Ўқитувчи”, 1994 й, 280-283 б, 285-286 б.

2. G.Xudoyberganov va bosh. Matematik analizdan ma’ruzalar. II-qism. 2010y.

2.3-ilova

m o’zgaruvchining funksiyasi

Qirralari bo’lgan to’g’ri parallelepiped hajmi , to’liq yuzi . Bu kattaliklar larga bo’g’liq. Agar ularni o’zgaruvchilar deb qarasak, u holda “uch o’zgaruvchilarning funksiyasi”ga ega bo’lamiz. Bu funksiyalar geometric kattaliklarni hisoblash uchun matematik model bo’lib xizmat qiladi. Bunday modellarni fizikada, texnikada, iqtisodda, hayotimizning turli jabhalarida uchratishimiz mumkin. Shu sababli bu modelni abstrakt holda o’rganish maqsadga muvofiq.

Aytaylik,R^m fazoda biror D to‘plam berilgan bo‘lsin.

Ta’rif. Agar D to‘plamdagi har bir nuqtaga biror f qoida yoki qonunga ko‘ra bitta haqiqiy u (u R) son mos qo‘yilgan bo‘lsa, u holda D to‘plamda m-o‘zgaruvchili funksiya berilgan (aniqlangan) deyiladi va u kabi belgilanadi.

D to‘plamga funksiyaning aniqlanish sohasi, - erkli o‘zgaruvchilar yoki argumentlar, u – erksiz o‘zgaruvchi- funksiya deyiladi. Ta’rifga ko‘ra lar x nuqtaning koordinatalari, shuning uchun yuqoridagi funksiya ko‘rinishda ham belgilanadi va uni R^m fazoni x nuqtasining funksiyasi ham deyiladi.

Funksiyaning aniqlanish sohasidan olingan x=x₀ nuqtadagi funksiyaning u₀ qiymatiga funksiyaning hususiy qiymati deyiladi. Funksiyaning barcha hususiy qiymatlaridan iborat to‘plam funksiyaning qiymatlar to‘plami deyiladi.

Misol. 1) R^m fazodagi har bir x nuqtaga uning koordinatalari yig‘indisini mos qo‘yamiz. U holda bu moslik R^m fazoda aniqlangan funksiyani aniqlaydi. Bu funksiyaning qiymatlar to‘plami R-haqiqiy sonlar to‘plamidan iborat.

2) D={xR^m :(x,0)≤2} to‘plamdan olingan har bir nuqtaga ushbu haqiqiy sonni mos qo‘yamiz. Bu moslik D to‘plamda funksiyani aniqlaydi. Bu funksiyaning qiymatlar to‘plami [0,2] kesmadan iborat.

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya analitik usulda (ya’ni formulalar yordamida) berilganda, odatda ko‘p hollarda, uning aniqlanish sohasi bevosita berilmaydi. Bu holda uning aniqlanish sohasi deb funksiyani aniqlaydigan analitik ifoda ma’noga ega bo‘lgan barcha ( ) nuqtalar to‘plami tushuniladi.

Misol. 1) funksiyaning aniqlanish sohasi R^m fazo nuqtalaridan iborat.

2) funksiyaning aniqlanish sohasi R^m fazoning shartni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plamidan, ya’ni markazi O(0,0,…,0) nuqtada radiusi 1 ga teng ochiq shardan iborat bo‘ladi.

Bir o‘zgaruvchili funksiyaning ko‘pgina (bir qator) tushunchalarini deyarli o‘zgartirmasdan ko‘p o‘zgaruvchili funksiya uchun ham o‘tkazish mumkin.

Savol: qanday tushunchalarni analogiyadan foydalanib o’tkazish mumkin?

Taxminiy javoblar: chegaralangan (chegaralanmagan) funksiya tushunchasi, ikki funksiya yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi, bo‘linmasi tushunchalari, murakkab funksiya tushunchalari va boshqalar.

Savol: Nega monoton funksiya tushunchasini kiritish mumkin emas?

Javob: aniqlanish sohasi haqiqiy sonlar to’plamiga o’xshash tartiblanganlik xossasiga ega emas.

Quyida ko‘p o‘zgaruvchili murakkab funksiya tushunchasini kiritamiz.

Faraz qilaylik, R^k fazodagi D₁ to‘plamda k o‘zgaruvchili m ta funksiya

bu yerda (t₁, t₂,…, t_k)D₁, R^m fazodagi D to‘plamda m o‘zgaruvchili funksiya

(2)

berilgan bo‘lsin. Shuningdek, (t₁, t₂,…, t_k)D₁ uchun (x₁, x₂,…, x_m)D bo‘lsin.

U holda R^k fazodagi D₁ to‘plamda t₁, t₂,…, t_k o‘zgaruvchilarning yangi funksiyasini qurish mumkin: . Bu funksiya t₁, t₂,…, t_k o‘zgaruvchilarning murakkab funksiyasi deyiladi va quyidagicha (simvolik) yoziladi:

(3)

Bu holda murakkab funksiya funksiya va funksiyalarning superpozitsiyasi deyiladi.

Misol. Ushbu to‘plamda aniqlangan funksiyani , bu yerda , murakkab funksiya deb qarash mumkin.

Ikki o’zgaruvchili funksiya grafigi.

X R² to’plamda z=f(x,y) funksiya berilgan bo’lsin. (x₀,y₀) X nuqtani olib bu nuqtada z₀=f(x₀,y₀) funksiyaning qiymatini hisoblaymiz. Natijada koordinatalari (x₀,y₀,z₀) bo’lgan R³ da nuqtaga ega bo’lamiz. R³-fazodagi nuqtalarning (x,y,f(x,y)) to’plami z=f(x,y) funksiyaning grafigi deyiladi. Ikki o’zgaruvchili funksiyaning grafigi sirtdan iborat bo’ladi.

Misol. z=x²+y² funksiyaning grafigi rasmda tasvirlangan aylanma paraboloiddan iborat (1-rasm) bo’ladi.

1-rasm