Российский экономический

Х

, потребуются ресурсы (в размере 
А

Х

), что уменьшит 
их количество, выделяемое для базисных видов продукции. Это, в свою оче-
редь, изменит размер ее производства, т.е.: 
Х
* 
+ 

Х
*
= 
D
(
B
–
А

Х

) = 
DB
– 
DА

Х

. 
Учитывая условие (4.4), имеем 

Х
*
= –
DА

Х

. Обозначим через 
Н
произ-
ведение матриц 
D
и
А

: 
Н
= 
DА

. 
(4.8) 
Тогда: 

Х
*
= –
НХ

. 
(4.9) 
Матрица 
Н
характеризует влияние переменных, неэффективных с точки 
зрения оптимального плана (нулевых в точке оптимума), на величину эффек-
тивных (ненулевых) переменных. Знак «минус» говорит, что это влияние об-
ратно, т.е. элементы матрицы 
Н
показывают уменьшение каждого из базисных 
60

---

неизвестных оптимального плана при увеличении на единицу какого-либо из 
небазисных. Иными словами, матрица 
Н
есть матрица коэффициентов замены. 
Обозначим через 
f
индекс небазисной переменной, а через 
𝑥

𝑓
 — 
ее значе-
ние. Тогда, скалярно расписав условие (4.9), получим для каждой из базисных 
переменных: 
∆𝑥
𝑗
∗
= ∑
ℎ
𝑗𝑓
𝑥

𝑓
𝑚
𝑖=1
. 
(4.10) 
Найдем матрицу коэффициентов замены для нашего примера: 
𝐻 = [
−2,5 0
5
2,25 0 −0,5
0,5
1
−5
] × [
1 0
0 0
0 1
] = [
−2,5
5
2,25 −0,5
0,5
−5
]
. 
Сравнив с таблицей на рис. 4.1, 
в
, видим совпадение матрицы 
Н
со столб-
цами свободных переменных 
х
3 
и 
х
5
. Предположим, мы хотим «сэкономить» 
фонд оборотных средств и трудовые ресурсы, оставив неиспользованными 10 
тыс. руб. и 10 тыс. человеко-часов. Тогда по условию (4.9): 
∆𝑋
∗
= − [
−2,5 0
5
2,25 0 −0,5
0,5
1
−5
] × [
10
10
] = [
−25
−17,5
45
]
. 
Таким образом, указанная «экономия» ресурсов вызвала уменьшение до-
бычи торфа на 25 тыс. т (

𝑥
1
∗
= –25) и добычи угля на 17,5 тыс. т (

𝑥
2
∗
= –17,5), 
но увеличила (отрицательное уменьшение) неиспользованный остаток ресурсов 
электроэнергии на 45 тыс. кВт ч. 
Рассмотрим важный для дальнейшего изложения случай, когда одна из 
свободных переменных должна в результате подходящей замены вытеснить из 
оптимального плана одну из базисных переменных. Обозначим через 
k 
индекс 
той свободной переменной, которую мы хотим сделать ненулевой (
𝑥
𝑘



), 
оставив все прочие (
f 

 k
) нулевыми (
𝑥
𝑓

= 0). Тогда условие (4.10) преобразует-
ся в 

𝑥
𝐽
= –
ℎ
𝐽𝑘
 
𝑥
𝑘

. Положительные приращения (

𝑥
𝑗
∗


) могут быть сколь 
угодно велики, а отрицательные (

𝑥
𝑗
∗


) по абсолютной величине не могут 
превосходить первоначальные значения базисных переменных. При 

 
𝑥
𝑗
∗
= –
𝑥
𝑗
∗
базисная переменная превращается в ноль, т.е. перестает быть базисной и пол-
ностью уступает место в плане другой неизвестной, бывшей в первоначальном 
плане ненулевой.
В каких же размерах следует начать производить продукцию