4
.2. Экономические свойства двойственных оценок
Построим модель задачи, двойственной к (2.12) — (2.15). Предварительно
изменим знак неравенства в ограничениях (2.14) на противоположный, домно-
жив их обе части на –1.
64
1. Тогда модель прямой задачи будет выглядеть так:
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
→ max
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
;
(4.12)
∑
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
≤ 𝑏
𝑖
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
, (i = 1, 2,…,m);
(4.13)
− ∑
𝑥
𝑗
𝑠
≥ −𝑏
𝑗
𝑟
𝑗
𝑠=1
, (j = 1, 2,…,n);
(4.14)
𝑥
𝑗
𝑠
≥ 0
,
(
j =
1, 2,…,
n
), (
s
= 1, 2,…,
𝑟
𝑗
)
.
(4.15)
Так как в прямой задаче имеются основные ограничения двух видов
(4.13) и (4.14), то целесообразно различать две группы неизвестных двойствен-
ной задачи, т.е. оценок. Обозначим через
у
𝑖
оценки, соответствующие ограни-
чениям по использованию ресурсов в прямой задаче, а через
𝑣
𝑗
— оценки, соот-
ветствующие ограничениям по производственной программе.
Модель двойственной задачи, будет следующей:
∑
𝑏
𝑖
𝑦
𝑖
−
𝑚
𝑖=1
∑
𝑏
𝑖
𝑦
𝑖
𝑛
𝑗=1
→ min
,
(4.16)
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑦
𝑖
−
𝑚
𝑖=1
𝑣
𝑗
≥ 𝑝
𝑗
𝑠
; (j = 1, 2,…,n), (s = 1, 2,…,
𝑟
𝑗
); (4.17)
𝑦
𝑖
≥ 0,
(
i =
1, 2,…,
m
);
(4.18)
𝑣
𝑗
≥ 0,
(j = 1, 2,…,n).
(4.19)
Обратимся к нашей конкретной задаче на максимизацию добычи услов-
ного топлива. Ее модель в численном виде (2.1) — (2.6), дополненная ограни-
чениями по производственной программе (2.10) и (2.11), после приведения всех
неравенств к виду «
» будет следующей:
0,05
𝑥
1
+ 0,5
𝑥
2
20;
1,1
𝑥
1
+
𝑥
2
180;
0,225
𝑥
1
+0,25
𝑥
2
32;
– 𝑥
1
–90;
–
𝑥
2
–30;
𝑥
1
0;
𝑥
2
0;
0,25
𝑥
1
+ 1,2
𝑥
2
max
.
Отметим, что для компактности во всех правых частях ограничений со-
кращены три нуля, после чего все ресурсы и продукция измеряются в тысячах
единиц.
Введем обозначения для неизвестных двойственной задачи. Пусть
у
1
, у
2
,
у
3 —
оценки ресурсов (фонда оборотных средств, электроэнергии, трудовых ре-
сурсов соответственно), а
v
1
, v
2 —
оценки ограничений (соответственно торфа и
угля).
Построим двойственную задачу:
0,05
𝑢
1
+ 1,1
𝑢
2
+0,225
𝑢
3
–
𝑣
1
0,25;
0,5
𝑢
1
+
𝑢
2
+ 0,25
𝑢
3
–
𝑣
2
1,2;
𝑢
1
0;
𝑢
2
0;
𝑢
3
0;
𝑣
1
0;
𝑣
2
0;
20
𝑢
1
+180
𝑢
2
+ 32
𝑢
3
– 90
𝑣
1
– 30
𝑣
2
min
.
Для правильного построения двойственной задачи полезно составить сле-
дующую таблицу, основу которой составляет матрица (выделена жирными ли-
ниями) коэффициентов при неизвестных в ограничениях.
65
Таблица 4.1 заполняется исходя из конкретного вида прямой задачи. За-
тем вводятся обозначения переменных двойственной задачи, знаки ее нера-
венств и критерия оптимальности. Если ограничения и критерий оптимально-
сти для прямой задачи формируется по строкам табл. 4.1, то для двойствен-
ной — по столбцам.
Таблица 4.1
Do'stlaringiz bilan baham: |