Российский экономический

 
𝑥
𝑘

 


. 
Для дополнительных переменных 
𝑥
𝑛+𝑖
 
(ресурсов) возможна интерпрета-
ция отрицательных значений 
𝑥
𝑘

. Если положительная величина дополнитель-
ной переменной (
𝑥
𝑘



) означает наличие неиспользованного остатка соответ-
ствующего ресурса или, что-то же самое, уменьшение фактического использо-
вания ресурса против величины общего его размера 
𝑏
𝑘
, то отрицательная вели-
чина этой переменной (
𝑥
𝑘



) означает «переиспользование» соответствующе-
го ресурса, т.е. его рост против величины 
𝑏
𝑘
. Таким образом, для отрицатель-
ных коэффициентов замены (
ℎ
𝑗𝑘
 


) из условия (4.11) можно найти величину 
прироста соответствующего ресурса, которая вызовет уменьшение до нуля (ис-
чезновение из плана) производства продукции
 
𝑥
𝑗
∗
. 
Действительно, пусть расчет по формуле (4.11) определил, что: 
∑
ℎ
𝑗𝑓
𝑥

𝑓
𝑚
𝑖=1


.
Представим данную переменную по-прежнему неотрицательной, условно 
вынеся знак «минус» в саму запись соответствующего ограничения: 
∑
𝑎
𝑘𝑗
𝑥
𝑗
∗∗
+ (−
𝑛
𝑗=1
𝑥
𝑘

) = 𝑏
𝑘
, 
62

---

где
 
𝑥
𝑗
∗∗
— новые значения базисных переменных, вызванные превращени-
ем бывшей свободной переменной 
𝑥
𝑘

в отрицательное число. 
Перенесем неизвестное
 
𝑥
𝑘

, обозначающее недоиспользованный остаток 
k
-
го ресурса (правда, в данном случае оно отрицательно), в правую часть. Полу-
чим запись: 
∑
𝑎
𝑘𝑗
𝑥
𝑗
∗∗
𝑛
𝑗=1
= 𝑏
𝑘
+ 𝑥
𝑘

, 
которая означает, что соответствующие новые значения базисных перемен-
ных 
𝑥
𝑗
∗∗
возможны лишь при увеличении первоначального количества 
k
-го ресурса 
в размере 
𝑏
𝑘
на некоторую положительную величину
 
𝑥
𝑘

. Иными словами, отрица-
тельное недоиспользование ресурса (
𝑥
𝑘



) возможно интерпретировать как до-
полнительное количество 
k
-го ресурса, требуемое для достижения новых значений 
базисных переменных, в том числе и того из них, которое уменьшится до нуля. 
В нашем примере коэффициент замены торфа на неиспользованный оста-
ток фонда оборотных средств отрицателен и равен –2,5. В соответствии с (4.11): 
𝑥
3

= 110 тыс. т торфа : (–2,5) т торфа/руб. = –44 тыс. руб. 
Перерасход фонда оборотных средств (его прирост сверх лимита в 20 
тыс. руб.) на 44 тыс. руб. уменьшит добычу торфа до нуля. Весь план производ-
ства, в соответствии с (4.9), изменится в этом случае так:
∆𝑋
∗
= − [
−2,5
5
2,25 −0,5
0,5
−5
] × [
−44
0
] = [
110
99
22
]
. 
Таким образом, уменьшение добычи торфа до нуля, на 110 тыс. т, сопро-
вождается ростом добычи угля на 99 тыс. т и увеличением неиспользованного 
остатка ресурсов электроэнергии на 22 тыс. кВт ч. В этом случае уменьшение 
добычи торфа происходит не вследствие сокращения ресурса, а вследствие его 
роста. Дополнительное увеличение фонда оборотных средств позволяет переве-
сти всю добычу топлива на шахты, полностью отказавшись от добычи низкока-
лорийного торфа. Ранее такой план был невозможен ввиду малых размеров 
фонда оборотных средств. 
Так как изменение одной свободной переменной 
𝑥
𝑘

с нуля до ненулевой 
величины вызовет одновременное изменение базисных переменных
 
𝑥
𝑗
∗
, то воз-
можно отыскать наименьший размер такого изменения переменной
 
𝑥
𝑘

, доста-
точный для уменьшения до нуля лишь одной базисной переменной
 
𝑥
𝑗
∗
. Введем 
следующие обозначения:
𝐽
∗
— множество индексов базисных переменных; 
𝐽
𝑘1
∗
— множество индексов базисных переменных, для которых 
ℎ
𝐽𝑘
 


(
𝐽
𝑘1
∗

J
); 
𝐽
𝑘2
∗
— множество индексов базисных переменных, для которых 
ℎ
𝐽𝑘
 


(
𝐽
𝑘2
∗

J
), (
𝐽
𝑘2
∗

 
𝐽
𝑘1
∗


); 
𝐽
𝑘3
∗
— индексов базисных переменных, для которых 
ℎ
𝐽𝑘
 
= 

(
𝐽
𝑘3
∗

J
), 
(
𝐽
𝑘3
∗

𝐽
𝑘1
∗


), (
𝐽
𝑘3
∗

𝐽
𝑘2
∗


). 
Тогда наименьшее достаточное ненулевое значение бывшего нулевого 
𝑥
𝑘

определится следующим образом (см. соотношение (4.11)). 
63

---

1. Для 
ℎ
𝐽𝑘


𝑥
𝑘

= min
𝑗∈𝐽
𝑘1
∗
{
𝑥
𝑗
∗
ℎ
𝑗𝑘
} > 0
. 
Здесь минимальная из положительных дробей покажет наименьшее зна-
чение
 
𝑥
𝑘

, необходимое для уменьшения до нуля самой «чувствительной» ба-
зисной переменной из всей группы аналогично реагирующих
 
𝑥
𝑗
∗
. Вследствие 
наличия минуса в выражении (4.10) положительная величина коэффициента 
ℎ
𝐽𝑘
указывает на обратную зависимость изменения величин 
𝑥
𝑘

и
 
𝑥
𝑗
∗
. При увеличе-
нии 
𝑥
𝑘

все 
𝑥
𝑗
∗
из группы 
j

 
𝐽
𝑘1
∗
уменьшаются. Чем больше 
ℎ
𝐽𝑘
, тем скорость та-
кого уменьшения выше. 
2. Для
 
ℎ
𝐽𝑘
 


𝑥
𝑘

= min
𝑗∈𝐽
𝑘2
∗
{
𝑥
𝑗
∗
ℎ
𝑗𝑘
} < 0
. 
Как отмечено выше, трактовка отрицательных 
𝑥
𝑘

возможна лишь для 
остатков ресурсов (т.е. для дополнительной переменной группы 
𝑥
𝑛+𝑖
). Здесь 
отрицательные значения 
ℎ
𝑗𝑘
свидетельствуют о прямой зависимости изменений 
величин 
𝑥
𝑘

и
 
𝑥
𝑗
∗
. Они уменьшаются или растут одновременно. 
3. Когда 
ℎ
𝐽𝑘
= 

, изменение 
𝑥
𝑘

не ведет к изменению соответствующих
 
𝑥
𝑗
∗
. Поэтому каких-либо расчетов здесь не требуется. 
Выше мы проследили связь между двойственными оценками ресурсов и 
значением критерия оптимальности. Остановимся на этом еще раз. Итак, коэф-
фициенты первой строки последней симплекс-таблицы (см. рис. 4.1, 
в
) показы-
вают размер изменения критерия оптимальности (суммарной добычи условного 
топлива) от изменения в плане соответствующей переменной на единицу. В 
частности, 
у
3
= 0,65 показывает, что один неиспользованный человеко-час 
уменьшит суммарную добычу условного топлива на 0,65 т. Равным образом та-
кое уменьшение суммарной добычи произойдет и при сокращении величины 
выделенных трудовых ресурсов на один человеко-час. Наоборот, дополнитель-
ное выделение одного человеко-часа увеличит суммарную добычу условного 
топлива в таких же размерах, т.е. на 0,65 т. 
Итак, коэффициенты первой строки, соответствующие ресурсам, показы-
вают, на сколько изменится значение критерия оптимальности при изменении 
величины данного ресурса на единицу, и являются двойственными оценками 
ресурсов. Прежде чем перейти к рассмотрению свойств двойственных оценок, 
отметим, что при помощи указанных выше формул (4.3) — (4.11) возможно 
проводить анализ не только оптимального плана, но и всех промежуточных, т.е. 
допустимых.