Российский экономический

Рис. 4.3.
Формальная процедура поиска оптимального решения задачи 
85

---

Трехшаговая процедура приводит к следующей таблице, содержащей оп-
тимальное решение поставленной задачи, а также двойственные оценки ресур-
сов и технологических способов (табл. 4.4). 
Таблица 4.4 
Оптимальное решение поставленной задачи 
а
i
0
х
1
х
2
х
3
t
4
x
5
t
2
t
3
с 
67 
1/2 
4 
3/2 
1/2 
33/12 
1 
7/4 
t
1
35/3 
–5/6 
–1 
1/2 
–1/2 
13/12 
–2/3 
1/12 
х
6
8/3 
2/3 
0 
0 
0 
5/6 
1/3 
–1/6 
х
7
22/3 
–2/3 
1 
1 
0 
–1/3 
–1/3 
2/3 
х
4
5/3 
7/6 
–1 
–3/2 
1/2 
1/12 
1/3 
–11/12 
Итак, в оптимальный план вошли технологические способы 
𝑃
4
(
х
4
∗
= 5/3), 
𝑃
6
(
х
6
∗
= 35/3). Для дефицитных ресурсов (3-го, 2-го и 4-го) двойственные оценки 
в оптимальном плане следующие: 
𝑦
3
∗
= 7/4,
𝑦
2
∗
= 1, 
𝑦
4
∗
= 1/2. 
Матрица эффективности 
D 
=
(𝐴
∗
)
−1
содержится в табл.4.4. Легко убедить-
ся в справедливости следующих соотношений: 
𝑋
∗
̅̅̅ = 𝐷𝐵̅
; 
𝑌
∗
̅̅̅ = 𝐷
𝑇
𝑃̅
. 
Действительно: 
[
0
1/3
−1/6
0
−1/3
2/3
1/2
1/3
−11/12
] × [
28
18
20
] = (8/3, 22/3, 5/3)
; 
[
0
0
1/2
0
−1/3
1/3
−1/6
2/3
−11/12
] × [
8
6
1
] = (1/2,1,
7
8
)
. 
Определим теперь интервалы устойчивости двойственных оценок ресур-
сов, в пределах которых оценки точно измеряют влияние ограничений на зна-
чение функционала 
с
. 
Для 2-го ресурса: 
1) нижняя граница — 

𝑏
2
(−)
= min {
8/3
1/3
;
5/3
1/3
} = 5;
2) верхняя граница — 

𝑏
2
(+)
= max {
22/3
−1/3
} = 22
.
Интервал устойчивости оценок и базиса оптимального плана по второму 
ограничению — [18 – 5; 18 + 22] = [13; 40].
Для 3-го ресурса:

нижняя граница — 

𝑏
3
(−)
= min {
22/3
11/3
} = 11;

верхняя граница — 

𝑏
2
(+)
= max {
8/3
−1/6
;
5/3
−11/12
} =
20
11
.
Интервал устойчивости оценок и базиса оптимального плана по третьему 
ограничению — [20 – 11; 20 + 20/11] = [9; 240/11]. 
Для 4-го ресурса:
1) нижняя граница — 

𝑏
4
(−)
= min {
5/3
1/2
} =
10
3
;
86

---

2) верхняя граница — 

𝑏
4
(+)
= 0
.
Интервал устойчивости оценок и базиса оптимального плана по четвер-
тому ограничению — [28 – 10/3; 28 + 0] = [74/3; 28]. 
Оценим величины малых инвестиционных планов производственной си-
стемы по каждому дефицитному ресурсу. Для 2-го ресурса — 

𝑐
(2)
= 

𝑏
2
(+)
𝑦
2
∗
= 
22 × 1=22. Для 3-го ресурса — 

𝑐
(3)
= 

𝑏
3
(+)
× 
𝑦
3
∗
= 20/11 × 7/4 = 35/11. Для 4-го 
ресурса 

𝑐
(4)
= 

𝑏
4
(+)
× 
𝑦
4
∗
=1/2 × 0 = 0. Таким образом, наибольшим инноваци-
онным потенциалом для производственной системы обладает второй ресурс. 
Если на рынках производственных факторов цена на данный ресурс устанавли-
вается на уровне, заложенном в исходной модели, то можно планировать уве-
личение выпуска с величины 
𝑐
0
= 67 до величины 
𝑐
0
+

𝑐
(2)
= 89 с сохранением 
достигнутой в системе нормы прибыли. Если же цена на данный ресурс оказы-
вается меньшей, то норма прибыли увеличивается прямо пропорционально 
объему дополнительно потребляемого ресурса, причем дополнительная при-
быль (сверхприбыль) достигается лишь за счет рационального перераспределе-
ния данного вида ресурсов и соответствующей корректировки производствен-
ного плана. 
С другой стороны, наиболее проблемным для системы является четвертый 
ресурс, обладающий минимальным интервалом устойчивости и теневой ценой. 
Изменение стоимости данного ресурса в любую сторону является болезненным 
для производственной системы, и в связи с данным обстоятельством следует 
направить усилия на возможную замену данного ресурса на ресурс недефицитной 
группы. 
Оценим теперь интервал устойчивости базиса оптимального плана по от-
ношению к вектору выпуска 
𝑝̅ = (2,1,3,1,2,8,6)
. Для этого выпишем из целевой 
строки последней симплекс-таблицы двойственные оценки технологических 
способов: 
𝑢
1
∗
= 0,5; 
𝑢
2
∗
= 4;